Funzione implicita

[Piccy1]

Buongiorno a tutti, ad un esame di analisi 2 mi è stato dato questo esercizio:
$ f(x, y) = y^2/2-y^3/3-xln|x|-x $
1)studiare l'esistenza di soluzioni dell'educazione $ f(x, y) =0 $ in un intorno di $ (1,0)$
2)disegnare il luogo dei punti del piano tali che $f(x, y) =0$ in un intorno di $(1,0)$

Per risolverlo subito ho pensato di utilizzare il teorema del Dini, ma poi ho notato che la funzione non soddisfava le ipotesi del teorema, così mi sono bloccata.
Qualcuno sa come si può risolvere grazie?

[bosmer-votailprof]

Cosa vuol dire "dell'educazione" ??? in ogni caso sono piuttosto sicuro che potrebbe esserci un errore nel testo, visto che $f(1,0)=-1$ inoltre non esiste nessuna funzione definita implicitamente da $f(x,y)=0$ in un intorno di $(0,1)$ se scegliamo questo intorno abbastanza piccolo diciamo di raggio $0.5$ questo oltre a poterlo verificare con wolfram lo puoi verificare anche con due conti, cioè studiando $f(x,0)>0$ poi studiando $f_y(x,y)>0$ e $f(x,1)>0$ e volendo anche $f(x,-1)>0$ alcune sono disequazioni banali altre sono disequazioni che si risolvono solo graficamente, ma si risolvono facilmente... Tutte queste considerazioni mi portano a credere che ci sia un errore nel testo, dovresti parlare col tuo professore.