Funzione implicita
Buon giorno a tutti, ho delle grosse difficoltà per quanto riguarda le funzioni implicite soprattutto per esercizio del tipo:
Verificare che l'insieme $E={(x,y) \in R^2 : 2e^{-xy}-\sqrt(x)(5+2y)=0}$ coincide con il grafico di una funzione $y=y(x)$. Determinare il dominio, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti e tracciarne sommariamente il grafico.
Soluzione
Verifico se $F(x,y)$ si annulla e per far ciò calcolo i limiti di y alla frontiera del dominio, in questo caso $\lim_{y \to \pm \infty}$, se sono di segno opposto vuol dire che la funzione si annulla da qualche parte. Dopodichè calcolo $F_y$ e verifico che sia una funzione sempre crescente e quindi sempre diversa da zero. Fatto ciò posso usare il teorema di Dini che mi assicura l'esistenza di una funzione implicita, in questo caso y(x).
Fin qui nessun problema, è la parte successiva che non comprendo pienamente.
Posso calcolare la derivata prima di y(x) con
\begin{equation}
y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}
\end{equation}
e se utilizzo il sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
y'(x)=0 \\ F(x,y)=0
\end{cases}
\end{equation}
Posso trovare gli estremanti ma non so se sono minimi o massimi, quindi come si può continuare lo studio di funzione?
Grazie mille
Verificare che l'insieme $E={(x,y) \in R^2 : 2e^{-xy}-\sqrt(x)(5+2y)=0}$ coincide con il grafico di una funzione $y=y(x)$. Determinare il dominio, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti e tracciarne sommariamente il grafico.
Soluzione
Verifico se $F(x,y)$ si annulla e per far ciò calcolo i limiti di y alla frontiera del dominio, in questo caso $\lim_{y \to \pm \infty}$, se sono di segno opposto vuol dire che la funzione si annulla da qualche parte. Dopodichè calcolo $F_y$ e verifico che sia una funzione sempre crescente e quindi sempre diversa da zero. Fatto ciò posso usare il teorema di Dini che mi assicura l'esistenza di una funzione implicita, in questo caso y(x).
Fin qui nessun problema, è la parte successiva che non comprendo pienamente.
Posso calcolare la derivata prima di y(x) con
\begin{equation}
y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}
\end{equation}
e se utilizzo il sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
y'(x)=0 \\ F(x,y)=0
\end{cases}
\end{equation}
Posso trovare gli estremanti ma non so se sono minimi o massimi, quindi come si può continuare lo studio di funzione?
Grazie mille
Risposte
Puoi anche calcolare la derivata seconda della funzione implicita. C'è una formula generale, che puoi ricavare e di cui puoi dimostrare la validità (attenzione però alla regolarità di questa $y(x)$), la scrivo qui sotto e ti invito a dimostrarla.
\[
y''(x)=-\frac{F_{x x}F_{y}^{2}-2F_{x y}F_{x}F_{y}+F_{y y}F_{x}^{2}}{F_{y}^{3}}
\]
Hint per la dimostrazione:
\[
y''(x)=-\frac{F_{x x}F_{y}^{2}-2F_{x y}F_{x}F_{y}+F_{y y}F_{x}^{2}}{F_{y}^{3}}
\]
Hint per la dimostrazione:
Grazie Frink per la risposta ma quella formula l'ho vista e la conosco, però non sempre è facile ne utile calcolare la derivata seconda. Quello che non riesco proprio a comprendere è lo studio della derivata prima della funzione implicita e il calcolo dei limiti di x. Vediamo se svolgendo i passaggi per l'esempio proposto riesco a chiarirmi meglio:
$F(x,y)=2e^{-xy}-\sqrt{x}(5+2y)$ $D=[0; +\infty)\times R$
Per $x_0$ fissato
\begin{equation}
\lim_{y \to -\infty} F(x_0,y)=+\infty \mbox{&} \lim_{y \to +\infty} F(x_0,y)=-\infty
\end{equation}
$F_y=-2xe^{-xy}-2\sqrt{x}$ sempre decrescente sempre negativa $\Rightarrow$ non si annulla mai.
Quindi unendo quest'ultimo risultato con il calcolo dei limiti per y, utilizzando Dini otteniamo l'esistenza di un unica funzione implicita f(x).
$F_x=-2ye^{-xy}-\frac{5+2y}{2\sqrt{x}}$
quindi
\begin{equation}
\begin{cases}
f'(x)=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-2ye^{-xy}-\frac{5+2y}{2\sqrt{x}}}{-2xe^{-xy}-2\sqrt{x}}=0\\
2e^{-xy}-\sqrt{x}(5+2y)=0
\end{cases}
\end{equation}
sostituendo $2e^{-xy}=\sqrt{x}(5+2y)$, ricavato dalla seconda equazione, nella prima si ottiene
\begin{equation}
\frac{(5+2y)(4xy+1)}{\sqrt{x}}=0
\end{equation}
e quindi o $y=-\frac{5}{2}$ o $y=-\frac{1}{4x}$
Nel primo caso si ottiene $e^{\frac{5}{2}x}=0$ che è impossibile, nel secondo caso si ottiene $2\frac{e^(1/4)}{\sqrt{x}}=5-\frac{1}{4x}$
Tramite risoluzione grafica
l'equazione ha come soluzione $x=\alpha$ con $ 0<\alpha<1$
si ottiene un punto di coordinate $(\alpha,-\frac{1}{4\alpha})$
Il problema adesso è capire se tale punto è un massimo o un minimo, si potrebbe utilizzare la formula proposta da Frink ma ho visto che in molti esercizi non la considerano nemmeno. Inoltre non riesco a capire come calcolare
$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to 0} f(x)$
Spero di essere stato più esauriente
$F(x,y)=2e^{-xy}-\sqrt{x}(5+2y)$ $D=[0; +\infty)\times R$
Per $x_0$ fissato
\begin{equation}
\lim_{y \to -\infty} F(x_0,y)=+\infty \mbox{&} \lim_{y \to +\infty} F(x_0,y)=-\infty
\end{equation}
$F_y=-2xe^{-xy}-2\sqrt{x}$ sempre decrescente sempre negativa $\Rightarrow$ non si annulla mai.
Quindi unendo quest'ultimo risultato con il calcolo dei limiti per y, utilizzando Dini otteniamo l'esistenza di un unica funzione implicita f(x).
$F_x=-2ye^{-xy}-\frac{5+2y}{2\sqrt{x}}$
quindi
\begin{equation}
\begin{cases}
f'(x)=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{-2ye^{-xy}-\frac{5+2y}{2\sqrt{x}}}{-2xe^{-xy}-2\sqrt{x}}=0\\
2e^{-xy}-\sqrt{x}(5+2y)=0
\end{cases}
\end{equation}
sostituendo $2e^{-xy}=\sqrt{x}(5+2y)$, ricavato dalla seconda equazione, nella prima si ottiene
\begin{equation}
\frac{(5+2y)(4xy+1)}{\sqrt{x}}=0
\end{equation}
e quindi o $y=-\frac{5}{2}$ o $y=-\frac{1}{4x}$
Nel primo caso si ottiene $e^{\frac{5}{2}x}=0$ che è impossibile, nel secondo caso si ottiene $2\frac{e^(1/4)}{\sqrt{x}}=5-\frac{1}{4x}$
Tramite risoluzione grafica
l'equazione ha come soluzione $x=\alpha$ con $ 0<\alpha<1$
si ottiene un punto di coordinate $(\alpha,-\frac{1}{4\alpha})$
Il problema adesso è capire se tale punto è un massimo o un minimo, si potrebbe utilizzare la formula proposta da Frink ma ho visto che in molti esercizi non la considerano nemmeno. Inoltre non riesco a capire come calcolare
$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to 0} f(x)$
Spero di essere stato più esauriente
Mi par di capire che dimentichi il fatto che il Teorema di Dini garantisce l'esistenza di questa funzione implicita in un intorno del punto. Parli di fare il limite di $f(x)$ per $x \rightarrow +\infty$ ma non ha senso, $f(x)$ avrà come dominio un $I=(x_o-\sigma,x_0+\sigma)$ laddove $(x_0,y_0)$ sia una soluzione di $F(x,y)=0$.
Tutto quello che puoi fare lo farai in un intorno di quel punto, in pratica potrai dare una interpretazione grafica della curva individuata dalla parametrizzazione $(x,f(x))$ ma sempre in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ di cui hai correttamente verificato l'esistenza.
Tutto quello che puoi fare lo farai in un intorno di quel punto, in pratica potrai dare una interpretazione grafica della curva individuata dalla parametrizzazione $(x,f(x))$ ma sempre in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ di cui hai correttamente verificato l'esistenza.
Buon giorno Frink, la notte porta consiglio e rileggendo mi sono accorto di aver scritto una castroneria, "Quindi unendo quest'ultimo risultato con il calcolo dei limiti per y, utilizzando Dini otteniamo l'esistenza di un unica funzione implicita f(x)." Perchè come giustamente mi hai fatto notare il Teorema di Dini garantisce l'esistenza di questa funzione implicita in un intorno del punto. La frase più corretta è:
Studiando i limiti di y e la crescenza (non il formaggio) o la decrescenza di $F_y$, la $F(x,y)$ definisce implicitamente un' unica funzione $f:[0,+\infty) \rightarrow R$ per la quale $F(x,f(x))=0$ per ogni valore di x. Per il Teorema di Dini, inoltre $f \in C^{oo}(R^+)$.
Spero di essermi chiarito di più, perchè ho una grande confusione in testa su questo argomento.
Studiando i limiti di y e la crescenza (non il formaggio) o la decrescenza di $F_y$, la $F(x,y)$ definisce implicitamente un' unica funzione $f:[0,+\infty) \rightarrow R$ per la quale $F(x,f(x))=0$ per ogni valore di x. Per il Teorema di Dini, inoltre $f \in C^{oo}(R^+)$.
Spero di essermi chiarito di più, perchè ho una grande confusione in testa su questo argomento.
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