Funzione Holderiana

[Monymate]

Ciao!

Sia $F(t,x)$ una funzione di classe $C^2$ su $\mathbb{R}x\mathbb{R}$ con derivate limitate $\frac{\partialF}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial t}$ e $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2$.
Allora la funzione $\frac{\partialF}{\partial x}$ è una funzione Holder continua con esponente $\frac{1}{2}$ rispetto a $t$, ed è una funzione Lipschitziana rispetto a $x$.
La dimostrazione è la seguente:
Fissiamo $x_0, x, s\in\mathbb{R}$ e abbiamo:
$\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(t,y)dy-\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(s,y)dy=F(t,x)-F(s,x)+F(s,x_0)-F(t,x_0)$ (e fin qui ci sono).
Quindi:
$|\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(t,y)dy-\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(s,y)dy|\leq 2 ||
\frac{\partial F}{\partial t}||_{L^\infty}|t-s|$
(Domanda 1. Questo è conseguenza dell'uguaglianza di sopra e del teorema di Lagrange, giusto?)
D'altra parte ponendo $l=t,s$ abbiamo:
$|\frac{\partialF}{\partial x}(l,x_0)-\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\frac{\partialF}{\partial x}(l,y)dy|\leq||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty}|x-x_0|$
(Domanda 2. Da dove viene questa disuguglianza?)
Quindi
$|\frac{\partialF}{\partial x}(t,x_0)-\frac{\partialF}{\partial x}(s,x_0)|\leq2||
\frac{\partial F}{\partial t}||_{L^\infty}\frac{|t-s|}{|x-x_0|}+2||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty}|x-x_0|$
(Domanda 3. Perché questa disuguaglianza?)
Scegliendo $x$ in modo t.c. $|x-x_0|=\sqrt{t-s}$ otteniamo:
$|\frac{\partialF}{\partial x}(t,x_0)-\frac{\partialF}{\partial x}(s,x_0)|\leq2\sqrt{t-s}(||\frac{\partial F}{\partial t}||_{L^\infty}+||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty})$
(e su questo ci sono, a questo punto ho dimostrato il fatto che la funzione è Holderiana).
inoltre abbiamo che per $t,x,y\in\mathbb{R}$
$|\frac{\partialF}{\partial x}(t,x)-\frac{\partialF}{\partial x}(t,y)|\leq||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty}|x-y|$
(Domanda 4. Questa disuguaglianza che mi permette di concludere che la funzione è lipschitz viene dal teorema di Lagrange, giusto?)

[Rigel1]

"Monymate":Sia $F(t,x)$ una funzione di classe $C^2$ su $\mathbb{R}x\mathbb{R}$ con derivate limitate $\frac{\partialF}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial t}$ e $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2$.
Allora la funzione $\frac{\partialF}{\partial x}$ è una funzione Holder continua con esponente $\frac{1}{2}$ rispetto a $t$, ed è una funzione Lipschitziana rispetto a $x$.

La dimostrazione è la seguente:

Fissiamo $x_0, x, s\in\mathbb{R}$ e abbiamo:
$\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(t,y)dy-\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(s,y)dy=F(t,x)-F(s,x)+F(s,x_0)-F(t,x_0)$ (e fin qui ci sono).
Quindi:
$|\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(t,y)dy-\int_{x_0}^x \frac{\partialF}{\partial x}(s,y)dy|\leq 2 ||

\frac{\partial F}{\partial t}||_{L^\infty}|t-s|$
(Domanda 1. Questo è conseguenza dell'uguaglianza di sopra e del teorema di Lagrange, giusto?)

Sì.

D'altra parte ponendo $l=t,s$ abbiamo:
$|\frac{\partialF}{\partial x}(l,x_0)-\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\frac{\partialF}{\partial x}(l,y)dy|\leq||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty}|x-x_0|$
(Domanda 2. Da dove viene questa disuguglianza?)

\[
F_x(l,x_0) - \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x F_x(l, y)dy =
\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x [F_x(l, x_0) - F_x(l.y)]dy
\]
e adesso ti basta maggiorare \(|F_x(l, x_0) - F_x(l,y)| \leq \|F_{xx}\|\, |x_0-y| \leq \|F_{xx}\|\, |x_0-x|\) e procedere con la maggiorazione dei valori assoluti.

Quindi
$|\frac{\partialF}{\partial x}(t,x_0)-\frac{\partialF}{\partial x}(s,x_0)|\leq2||
\frac{\partial F}{\partial t}||_{L^\infty}\frac{|t-s|}{|x-x_0|}+2||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty}|x-x_0|$
(Domanda 3. Perché questa disuguaglianza?)

Basta aggiungere e togliere un po' di pezzi in modo da far comparire le quantità che hai già stimato sopra:
\[
\begin{split}
|F_x(t,x_0) - F_x(s,x_0)| & = \left|F_x(t,x_0) - \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x F_x(t, y)dy\right|
+ \left|F_x(s,x_0) - \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x F_x(s, y)dy\right|
\\ &+ \frac{1}{|x-x_0|} \left|\int_{x_0}^x F_x(t, y)dy- \int_{x_0}^x F_x(s, y)dy\right|
\end{split}
\]

Scegliendo $x$ in modo t.c. $|x-x_0|=\sqrt{t-s}$ otteniamo:
$|\frac{\partialF}{\partial x}(t,x_0)-\frac{\partialF}{\partial x}(s,x_0)|\leq2\sqrt{t-s}(||\frac{\partial F}{\partial t}||_{L^\infty}+||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty})$
(e su questo ci sono, a questo punto ho dimostrato il fatto che la funzione è Holderiana).


inoltre abbiamo che per $t,x,y\in\mathbb{R}$
$|\frac{\partialF}{\partial x}(t,x)-\frac{\partialF}{\partial x}(t,y)|\leq||\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}||_{L^\infty}|x-y|$
(Domanda 4. Questa disuguaglianza che mi permette di concludere che la funzione è lipschitz viene dal teorema di Lagrange, giusto?)

Sì.