Funzione Gamma di eulero
studiando nel libro di teoria non riesco a capire perchè la funzione gamma di eulero $\int_{0}^{infty}e^(-t) t^(z-1) dt$ è analitica per $Re[z]>0$
MI potreste illuminarmi?
MI potreste illuminarmi?
Risposte
Che la [tex]$\Gamma$[/tex] sia olomorfa per [tex]$\Re e\ z>0$[/tex] si prova come segue.
Innanzitutto c'è convergenza dell'integrale che la definisce nel semipiano [tex]$\Re e\ z>0$[/tex] e la convergenza è uniforme in ogni striscia di tale semipiano del tipo [tex]$a<\Re e\ z
[tex]$\Gamma (z)=\int_0^1 e^{-t}\ t^{z-1}\ \text{d} t+\int_1^{+\infty} e^{-t}\ t^{z-1}\ \text{d} t =\Gamma_0 (z)+\Gamma_1(z)$[/tex]
e si verifica che [tex]$\Gamma_1$[/tex] è olomorfa per [tex]$\Re e\ z >0$[/tex] facendo due conti per provare lecita la derivazione sotto integrale; d'altra parte, esprimendo [tex]$e^{-t}$[/tex] in serie di potenze e integrando termine a termine, si vede che [tex]$\Gamma_0$[/tex] si esprime in serie di funzioni olomorfe uniformemente convergente sui limitati di [tex]$\Re e\ z>0$[/tex], sicché [tex]$\Gamma_0$[/tex] è olomorfa per un noto teorema di Weierstrass.
Innanzitutto c'è convergenza dell'integrale che la definisce nel semipiano [tex]$\Re e\ z>0$[/tex] e la convergenza è uniforme in ogni striscia di tale semipiano del tipo [tex]$a<\Re e\ z
[tex]$\Gamma (z)=\int_0^1 e^{-t}\ t^{z-1}\ \text{d} t+\int_1^{+\infty} e^{-t}\ t^{z-1}\ \text{d} t =\Gamma_0 (z)+\Gamma_1(z)$[/tex]
e si verifica che [tex]$\Gamma_1$[/tex] è olomorfa per [tex]$\Re e\ z >0$[/tex] facendo due conti per provare lecita la derivazione sotto integrale; d'altra parte, esprimendo [tex]$e^{-t}$[/tex] in serie di potenze e integrando termine a termine, si vede che [tex]$\Gamma_0$[/tex] si esprime in serie di funzioni olomorfe uniformemente convergente sui limitati di [tex]$\Re e\ z>0$[/tex], sicché [tex]$\Gamma_0$[/tex] è olomorfa per un noto teorema di Weierstrass.
intanto grazie..
Come dimostro che l'integrale converge?Io farei così: ponendo $z=u+iv$
$|\int_{0}^{infty}e^(-t) t^(z-1) dt|<=\int_{0}^{infty}|e^(-t)| |t^(u-1+iv)| dt<=\int_{0}^{infty}|e^(-t) |t^(u-1)|dt$ a questo punto che posso fare?
Come dimostro che l'integrale converge?Io farei così: ponendo $z=u+iv$
$|\int_{0}^{infty}e^(-t) t^(z-1) dt|<=\int_{0}^{infty}|e^(-t)| |t^(u-1+iv)| dt<=\int_{0}^{infty}|e^(-t) |t^(u-1)|dt$ a questo punto che posso fare?
Se [tex]$u>0$[/tex] l'ultimo integrale improprio esiste per noti criteri di sommabilità.
puoi anche far discendere tutto dal seguente
Lemma
Siano $I\subset\RR$ intervallo e $A\subset\CC$ insieme aperto. Sia $F=F(z,t): A \times I \to \CC$ continua. Si assuma inoltre che:
1) per ogni insieme compatto $K\subset A$ l'integrale
$ \int_I F(z,t)\,dt $
esista e sia finito per ogni $z\in K$;
2) la funzione $z\in A \mapsto F(z,t)$ sia olomorfa in $A$ e per ogni $t\in I$.
Allora, definita
$ f(z)=\int_I F(z,t)\,dt $
risulta $f$ funzione olomorfa su $A$; inoltre
$ f'(z)=\int_I \partial_z F(z,t)\,dt$.
Lemma
Siano $I\subset\RR$ intervallo e $A\subset\CC$ insieme aperto. Sia $F=F(z,t): A \times I \to \CC$ continua. Si assuma inoltre che:
1) per ogni insieme compatto $K\subset A$ l'integrale
$ \int_I F(z,t)\,dt $
esista e sia finito per ogni $z\in K$;
2) la funzione $z\in A \mapsto F(z,t)$ sia olomorfa in $A$ e per ogni $t\in I$.
Allora, definita
$ f(z)=\int_I F(z,t)\,dt $
risulta $f$ funzione olomorfa su $A$; inoltre
$ f'(z)=\int_I \partial_z F(z,t)\,dt$.
giusto! grazie
Riapro questo topic perchè in realtà mi viene che la funzione è analitica per $u<0$ infatti:
$int_0^\infty (e^(-t) t^(u-1) )dt< \int_0^\infty (t^(u-1)) dt=t^u/u$ integrato da 0 a infinito, che converge se $u<0$ dove erro?
$int_0^\infty (e^(-t) t^(u-1) )dt< \int_0^\infty (t^(u-1)) dt=t^u/u$ integrato da 0 a infinito, che converge se $u<0$ dove erro?
ragazzi ho un'esame tra pochi giorni, infondo non è una domanda difficile
in realtà mi viene che non è mai assolutamente integrabile
Ma dai... Guarda bene, non ti far prendere dall'ansia.
Come già notato si ha:
[tex]$\Gamma (z) = \int_0^1 e^{-t} t^{z-1}\ \text{d} t +\int_1^{+\infty} e^{-t} t^{z-1}\ \text{d} t$[/tex]
se gli integrali convergono, ed infatti questo è il caso se [tex]$\text{Re} (z) >0$[/tex].
Infatti, per [tex]$t\in [1,+\infty[$[/tex], si ha:
[tex]$|e^{-t} t^{z-1}|=e^{-t} |t^{z-1}|= e^{-t} |e^{(z-1)\ln t}|=e^{-t} e^{[\text{Re} (z)-1]\ln t} =e^{-t} t^{\text{Re}(z) -1}$[/tex]
e l'esponenziale è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande in [tex]$+\infty$[/tex], ergo la funzione [tex]$e^{-t} t^{z-1}$[/tex] è sommabile in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] per ogni [tex]$z\in \mathbb{C}$[/tex]; d'altra parte, per [tex]$t\in ]0,1]$[/tex] è:
[tex]$|e^{-t} t^{z-1}| \leq |t^{z-1}| =|e^{(z-1)\ \ln t}| =e^{\text{Re} [(z-1)\ln t]} =e^{[\text{Re} (z) -1] \ln t} =t^{\text{Re} (z) -1}$[/tex]
e la funzione maggiorante [tex]$t^{\text{Re} (z)-1} =\tfrac{1}{t^{1-\text{Re} (z)}}$[/tex] è integrabile in [tex]$[0,1]$[/tex] non appena risulta [tex]$1-\text{Re}(z) <1$[/tex], ossia [tex]$\text{Re} (z) >0$[/tex].
Quindi il tuo integrale risulta convergente per [tex]$\text{Re}(z) >0$[/tex] e la [tex]$\Gamma (z)$[/tex] è perciò definita nel semipiano dei numeri complessi con parte reale positiva.
Come già notato si ha:
[tex]$\Gamma (z) = \int_0^1 e^{-t} t^{z-1}\ \text{d} t +\int_1^{+\infty} e^{-t} t^{z-1}\ \text{d} t$[/tex]
se gli integrali convergono, ed infatti questo è il caso se [tex]$\text{Re} (z) >0$[/tex].
Infatti, per [tex]$t\in [1,+\infty[$[/tex], si ha:
[tex]$|e^{-t} t^{z-1}|=e^{-t} |t^{z-1}|= e^{-t} |e^{(z-1)\ln t}|=e^{-t} e^{[\text{Re} (z)-1]\ln t} =e^{-t} t^{\text{Re}(z) -1}$[/tex]
e l'esponenziale è un infinitesimo d'ordine infinitamente grande in [tex]$+\infty$[/tex], ergo la funzione [tex]$e^{-t} t^{z-1}$[/tex] è sommabile in [tex]$[1,+\infty[$[/tex] per ogni [tex]$z\in \mathbb{C}$[/tex]; d'altra parte, per [tex]$t\in ]0,1]$[/tex] è:
[tex]$|e^{-t} t^{z-1}| \leq |t^{z-1}| =|e^{(z-1)\ \ln t}| =e^{\text{Re} [(z-1)\ln t]} =e^{[\text{Re} (z) -1] \ln t} =t^{\text{Re} (z) -1}$[/tex]
e la funzione maggiorante [tex]$t^{\text{Re} (z)-1} =\tfrac{1}{t^{1-\text{Re} (z)}}$[/tex] è integrabile in [tex]$[0,1]$[/tex] non appena risulta [tex]$1-\text{Re}(z) <1$[/tex], ossia [tex]$\text{Re} (z) >0$[/tex].
Quindi il tuo integrale risulta convergente per [tex]$\text{Re}(z) >0$[/tex] e la [tex]$\Gamma (z)$[/tex] è perciò definita nel semipiano dei numeri complessi con parte reale positiva.
precisissimo come sempre, grazie mille.Dovresti scrivere un libro un giorno ... sarebbe sicuramente molto meglio di quello che ho io,il bernardini ragnisco santini, dove non ci sono esercizi, pochissimi esempi , e dove secondo gli autori tutto è evidente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo