Funzione Gamma di Eulero
Ciao.
Mi sta capitando di studiare le proprietà della della Gamma di Eulero e mi sono imbattuto in un passaggio che mi è intuitivamente chiaro ma non riesco a formalizzare......quindi chiedo aiuto a voi!!! Dopo averne dato la definizione, cioè
$\Gamma(z) = \int_0^(\infty) ds \ s^(z-1) e^(-s)$
il libro in questione afferma che sostituendo la definizione di $e^(-s)$ tramite il limite usuale si arriva alla forma
$\Gamma(z) = \lim_(n->\infty) \int_0^(n) ds \ s^(z-1) (1 - s/n)^n$
Ora il punto è che, per come la vedo io, a voler fare le cose per bene uno deve prima sostituire all'interno dell'integrale la definizione di $e^(-s)$ con il limite poi usare, ad esempio, la convergenza dominata per portare il limite fuori dall'integrale (i matematici perdonino la terminologia da bar....). In formule
$\Gamma(z) = \int_0^(\infty) ds \ s^(z-1) [\lim_(n->\infty) (1 - s/n)^n] = \lim_(n->\infty) \int_0^(\infty) ds \ s^(z-1) (1 - s/n)^n$
Mi chiedo cosa mi autorizzi a dire che come limite d'integrazione posso sostituire a $\infty$ il valore $n$. Per me ha senso che questa sia un'operazione lecita ma dai ricordi che ho dei corsi di analisi, uno cerca sempre di togliere il parametro dagli estremi di integrazione.......non di mettercelo!!!! La cosa che mi blocca è che non so decidere se sia meglio un approccio a forza bruta, intendo "calcolando" l'integrale, oppure se c'è un risultato più teorico che posso invocare.
Mi sta capitando di studiare le proprietà della della Gamma di Eulero e mi sono imbattuto in un passaggio che mi è intuitivamente chiaro ma non riesco a formalizzare......quindi chiedo aiuto a voi!!! Dopo averne dato la definizione, cioè
$\Gamma(z) = \int_0^(\infty) ds \ s^(z-1) e^(-s)$
il libro in questione afferma che sostituendo la definizione di $e^(-s)$ tramite il limite usuale si arriva alla forma
$\Gamma(z) = \lim_(n->\infty) \int_0^(n) ds \ s^(z-1) (1 - s/n)^n$
Ora il punto è che, per come la vedo io, a voler fare le cose per bene uno deve prima sostituire all'interno dell'integrale la definizione di $e^(-s)$ con il limite poi usare, ad esempio, la convergenza dominata per portare il limite fuori dall'integrale (i matematici perdonino la terminologia da bar....). In formule
$\Gamma(z) = \int_0^(\infty) ds \ s^(z-1) [\lim_(n->\infty) (1 - s/n)^n] = \lim_(n->\infty) \int_0^(\infty) ds \ s^(z-1) (1 - s/n)^n$
Mi chiedo cosa mi autorizzi a dire che come limite d'integrazione posso sostituire a $\infty$ il valore $n$. Per me ha senso che questa sia un'operazione lecita ma dai ricordi che ho dei corsi di analisi, uno cerca sempre di togliere il parametro dagli estremi di integrazione.......non di mettercelo!!!! La cosa che mi blocca è che non so decidere se sia meglio un approccio a forza bruta, intendo "calcolando" l'integrale, oppure se c'è un risultato più teorico che posso invocare.
Risposte
Probabilmente ha messo lo sviluppo in serie dell'esponenziale troncato ad una somma finita; per questo appare quel limite, esso va a sostituire il $+\infty$ che c'era come estremo di integrazione.
Indipendentemente dalle motivazioni del passaggio (che non so giudicare dato che non so come continua la cosa) mi pare che si tratti (come dicevi tu) di un passaggio al limite sotto il segno di integrale.
L'unica differenza e' che invece di vedere $e^{-s}$ come $\lim_{n\to \infty}(1-s/n)^n$ lo puoi vedere come $\lim_{n\to \infty}1_{[0,n]}(1-s/n)^n$ , dove $1_{[0,n]}$ e' la funzione indicatrice dell'intervallo $[0,n]$, che vale uno nei punti di tale intervallo e zero fuori. Posto infatti $f_n(s):=1_{[0,n]}(1-s/n)^n$ direi che $f_n(s)\to e^{-s}$ per $s\geq0$ e $0\leq f_n(s)\ne 1$ per cui, sfruttando l'integrabilita' dell'altro fattore, puoi usare
il teorema della convergenza dominata (mi pare per inciso che il tuo linguaggio sia tutt'altro che da bar ) e concludere quel passaggio.
L'unica differenza e' che invece di vedere $e^{-s}$ come $\lim_{n\to \infty}(1-s/n)^n$ lo puoi vedere come $\lim_{n\to \infty}1_{[0,n]}(1-s/n)^n$ , dove $1_{[0,n]}$ e' la funzione indicatrice dell'intervallo $[0,n]$, che vale uno nei punti di tale intervallo e zero fuori. Posto infatti $f_n(s):=1_{[0,n]}(1-s/n)^n$ direi che $f_n(s)\to e^{-s}$ per $s\geq0$ e $0\leq f_n(s)\ne 1$ per cui, sfruttando l'integrabilita' dell'altro fattore, puoi usare
il teorema della convergenza dominata (mi pare per inciso che il tuo linguaggio sia tutt'altro che da bar ) e concludere quel passaggio.
Grazie mille...mi hai convinto!!! In ogni caso la conclusione del ragionamento è quella di ottenere questa (la seconda della sezione Definizione Alternativa) espansione asintotica per la $\Gamma$.
mi giunge una domanda, dato che io stavo facendo il grafico di $\Gamma:
come faccio ad essere sicuro che il grafico che ho trovato non sia sbagliato? cioè, mi spiego meglio: qualsiasi programma che ho cercato su internet non mi permette di fare il grafico di una funzione integrale, quindi non ho l'esatta certezza della correttezza del mio grafico....sapreste consigliarmi un buon programma per fare grafici di funzioni integrali?
Grazie mille!!!
come faccio ad essere sicuro che il grafico che ho trovato non sia sbagliato? cioè, mi spiego meglio: qualsiasi programma che ho cercato su internet non mi permette di fare il grafico di una funzione integrale, quindi non ho l'esatta certezza della correttezza del mio grafico....sapreste consigliarmi un buon programma per fare grafici di funzioni integrali?
Grazie mille!!!
Non ho letto tutto, però lo farò..
anyway ti consiglio (l'ho trovato chiaro, e abbastanza soddisfacente) "Gamma Function" di Artin
Con metodi dell'analisi1 ti dice un po' di cose sulla Gamma.
Lo trovai sul noto animale da soma, ma se non lo trovi posso inviartelo io!
anyway ti consiglio (l'ho trovato chiaro, e abbastanza soddisfacente) "Gamma Function" di Artin
Con metodi dell'analisi1 ti dice un po' di cose sulla Gamma.
Lo trovai sul noto animale da soma, ma se non lo trovi posso inviartelo io!
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