Funzione Gamma

[MacpMinsk]

Siccome mi sto apprestando allo studio della trasformata di Laplace volevo sapere quando entra in gioco la funzione gamma e come si utilizza grazie per l'aiuto

[gugo82]

Più contesto, grazie.

[MacpMinsk]

Scusami hai ragione. Posto un esempio:
Supponiamo di calcolare la L trasformazione di log(t)
$L[log t] = int_(0)^(+oo ) (e^(-st)* log(t) d(t)) $
pongo u=st e quindi ho $L[logt] = int_(0)^(+oo ) (e^(-u)* log(u/s) d(u/s)) $
Il che e` uguale a $ 1/s int_(0)^(+oo ) (e^(-u)* log(u) du) - (logs/s) $
Ed e` ora che trovo delle difficolta` dato che il mio libro introduce la funzione gamma scrivendo che ricordando la funzione si puo` scrivere:
$ int_(0)^(+oo ) (e^(-t) *d/dz(t^(z-1)) dt) $. Ecco la mia domanda e` perche` introduce la funzione gamma? a cosa mi serve?

[gugo82]

La funzione gamma c'entra marginalmente qui.

Quello che c'entra è la costante \(\gamma \approx 0.577216\), detta anche costante di Eulero-Mascheroni.
Questo numero è definito, di solito come:
\[
\gamma := \lim_n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\; ,
\]
però è possibile dimostrare che esso coincide con il valore di alcuni integrali, come quello che figura nella tua trasformata: infatti si ha:
\[
\int_0^\infty e^{-u}\ \ln u\ \text{d} u = -\gamma\; .
\]
Se proprio si vuol tirare in ballo la gamma, bisogna osservare che vale la relazione:
\[
-\gamma = \Gamma^\prime (1)
\]
che però non so da dove provenga.

[MacpMinsk]

Grazie mille, anche il mio libro indica gamma primo. Mi sei stato di aiuto

[gugo82]

"gugo82":Se proprio si vuol tirare in ballo la gamma, bisogna osservare che vale la relazione:
\[
-\gamma = \Gamma^\prime (1)
\]
che però non so da dove provenga.

Mi sono accorto che è di una banalità disarmante...

Per definizione si ha:
\[
\Gamma (z) := \int_0^\infty e^{-u}\ u^{z-1}\ \text{d} u\; ;
\]
dato che è lecito derivare sotto il segno d'integrale, si ha:
\[
\begin{split}
\Gamma^\prime (z) &= \int_0^\infty e^{-u}\ \left(\frac{\text{d}}{\text{d} z} u^{z-1}\right)\ \text{d} u\\
&= \int_0^\infty e^{-u}\ \ln u\ u^{z-1}\ \text{d} u
\end{split}
\]
ergo:
\[
\Gamma^\prime (1) = \int_0^\infty e^{-u}\ \ln u\ \text{d} u = -\gamma\; .
\]
Ieri sera, semplicemente, sbagliavo a calcolare la derivata sotto integrale.

[MacpMinsk]

Sisi c'ero arrivato anch'io grazie comunque per la disponibilità