Funzione gamma
Data la funzione $Gamma$ di Eulero, come si dimostra che $Gamma(x)Gamma(1-x)=(pi)/(sen(x pi)) $ ?
E' facile verificarlo per $x=1/2 $. Inoltre siccome la funzione $Gamma$ è definita sui numeri negativi solo tramite la nota formula di ricorrenza e non direttamente dall'integrale che la definisce sui positivi, penso che il primo passo sia dimostrare la proprietà per $x in ]0,1[$. Ho tentato alcune integrazioni per parti o per sostituzione, ma senza successo.
E' facile verificarlo per $x=1/2 $. Inoltre siccome la funzione $Gamma$ è definita sui numeri negativi solo tramite la nota formula di ricorrenza e non direttamente dall'integrale che la definisce sui positivi, penso che il primo passo sia dimostrare la proprietà per $x in ]0,1[$. Ho tentato alcune integrazioni per parti o per sostituzione, ma senza successo.
Risposte
Che io mi ricordi, non è proprio la cosa più semplice del mondo. Guarda un po' qui se può esserti d'aiuto
http://www.math.unipd.it/~parsifal/Scuo ... 0Gamma.pdf
(la formula che cerchi è un caso equivalente della formula 3.14, che viene lasciata come esercizio nel corollario 3.8 - tuttavia nel file mi pare ci siano ingredienti a sufficienza per avere le tecniche per tale dimostrazione.)
http://www.math.unipd.it/~parsifal/Scuo ... 0Gamma.pdf
(la formula che cerchi è un caso equivalente della formula 3.14, che viene lasciata come esercizio nel corollario 3.8 - tuttavia nel file mi pare ci siano ingredienti a sufficienza per avere le tecniche per tale dimostrazione.)
Che io sappia si dimostra con l'uso della funzione beta, [tex]$B(z,\zeta):=\int_0^1 t^{z-1}\ (1-t)^{\zeta -1}\ \text{d} t$[/tex], alla quale la gamma è legata dalla relazione:
[tex]$B(z,\zeta) =\frac{\Gamma(z)\ \Gamma(\zeta)}{\Gamma (z+\zeta)}$[/tex].
Infatti facendo [tex]$\zeta =1-z$[/tex] nella precedente si trova:
[tex]$\Gamma(z)\ \Gamma(1-z) =B(z,1-z)$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 \frac{t^{z-1}}{(1-t)^{z}}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$\stackrel{\tau =\tfrac{t}{1-t}}{=} \int_0^{+\infty} \frac{\tau^{z-1}}{1+\tau}\ \text{d} \tau$[/tex];
l'ultimo integrale, per [tex]$z\in ]0,1[$[/tex], si calcola coi residui e si vede che esso è uguale a quello che ti serve (ossia [tex]$\tfrac{\pi}{\sin \pi z}$[/tex]), sicché
[tex]$\Gamma(z)\ \Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin \pi z}$[/tex] per [tex]$z\in ]0,1[$[/tex].
Poi la formula si generalizza per usando principio d'identità delle funzioni analitiche ed il fatto che le funzioni ad ambo i membri della precedente uguaglianza sono meromorfe con gli stessi poli e con le stesse parti principali (ciò importa che la differenza tra i due membri è una funzione intera che si annulla in [tex]$]0,1[$[/tex], quindi...).
[tex]$B(z,\zeta) =\frac{\Gamma(z)\ \Gamma(\zeta)}{\Gamma (z+\zeta)}$[/tex].
Infatti facendo [tex]$\zeta =1-z$[/tex] nella precedente si trova:
[tex]$\Gamma(z)\ \Gamma(1-z) =B(z,1-z)$[/tex]
[tex]$=\int_0^1 \frac{t^{z-1}}{(1-t)^{z}}\ \text{d} t$[/tex]
[tex]$\stackrel{\tau =\tfrac{t}{1-t}}{=} \int_0^{+\infty} \frac{\tau^{z-1}}{1+\tau}\ \text{d} \tau$[/tex];
l'ultimo integrale, per [tex]$z\in ]0,1[$[/tex], si calcola coi residui e si vede che esso è uguale a quello che ti serve (ossia [tex]$\tfrac{\pi}{\sin \pi z}$[/tex]), sicché
[tex]$\Gamma(z)\ \Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin \pi z}$[/tex] per [tex]$z\in ]0,1[$[/tex].
Poi la formula si generalizza per usando principio d'identità delle funzioni analitiche ed il fatto che le funzioni ad ambo i membri della precedente uguaglianza sono meromorfe con gli stessi poli e con le stesse parti principali (ciò importa che la differenza tra i due membri è una funzione intera che si annulla in [tex]$]0,1[$[/tex], quindi...).
Io pensavo a una dimostrazione senza ricorrere alla funzione Beta (almeno questo mi sembrava lo spirito della richiesta).
Grazie a entrambi per le pronte risposte. Io cercavo una dimostrazione elementare, da ignorante in materia. Sto tentando di ricostruire le varie proprietà di queste funzioni a partire dalle definizioni, date in forma integrale. Ho preso spunto dagli utilissimi appunti segnalati da Ciampax e dal suggerimento di Gugo82.
Per prima cosa ritengo faccia comodo sapere scrivere la funzione gamma sotto altre forme, in particolare $Gamma(x)=lim_{n->+infty} (n^x n!)/(x(x+1)...(x+n))$. Intendo quindi dimostrare la validità di questa relazione.
$lim_{n->+infty} (n^x n!)/(x(x+1)...(x+n)) =lim_{n->+infty} (n^x Gamma(n+1) Gamma(x))/(Gamma(x)x(x+1)...(x+n)) =$$=lim_{n->+infty} (n^x Gamma(n+1) Gamma(x))/(Gamma(x+n+1)) = lim_{n->+infty} n^x B(n+1,x) =lim_{n->+infty} n^x int_{0}^{1} t^n (1-t)^(x-1) dt = lim_{n->+infty} int_{0}^{1} t^n/(1-t) (n(1-t))^x dt $
A questo punto faccio una sostituzione:
$n(1-t)=y$, $dt=-(dy)/n$, $1/(1-t)=n/y$, $t=(n-y)/n=1-y/n$
Ottengo:
$ lim_{n->+infty} int_{0}^{n} (1-y/n)^n n/y y^x (dy)/n = lim_{n->+infty} int_{0}^{n} (1-y/n)^n y^(x-1) dy = $$=int_{0}^{+infty} e^(-y) y^(x-1) dy = Gamma(x)$
Che dite, vi sembra corretta come dimostrazione?
Per prima cosa ritengo faccia comodo sapere scrivere la funzione gamma sotto altre forme, in particolare $Gamma(x)=lim_{n->+infty} (n^x n!)/(x(x+1)...(x+n))$. Intendo quindi dimostrare la validità di questa relazione.
$lim_{n->+infty} (n^x n!)/(x(x+1)...(x+n)) =lim_{n->+infty} (n^x Gamma(n+1) Gamma(x))/(Gamma(x)x(x+1)...(x+n)) =$$=lim_{n->+infty} (n^x Gamma(n+1) Gamma(x))/(Gamma(x+n+1)) = lim_{n->+infty} n^x B(n+1,x) =lim_{n->+infty} n^x int_{0}^{1} t^n (1-t)^(x-1) dt = lim_{n->+infty} int_{0}^{1} t^n/(1-t) (n(1-t))^x dt $
A questo punto faccio una sostituzione:
$n(1-t)=y$, $dt=-(dy)/n$, $1/(1-t)=n/y$, $t=(n-y)/n=1-y/n$
Ottengo:
$ lim_{n->+infty} int_{0}^{n} (1-y/n)^n n/y y^x (dy)/n = lim_{n->+infty} int_{0}^{n} (1-y/n)^n y^(x-1) dy = $$=int_{0}^{+infty} e^(-y) y^(x-1) dy = Gamma(x)$
Che dite, vi sembra corretta come dimostrazione?
[mod="dissonance"]Mi sono permesso di spezzare una formula molto lunga in modo da consentire il ritorno carrello. [/mod]
Formalmente sì... quel passaggio al limite sotto il segno di integrale però mi puzza un po', dal momento che hai la n sia come estremo di integrazione che come termine generico della funzione integranda. E' pur vero che per $x\leq 1$ la funzione integranda è sempre continua, quindi il linea di massima mi pare integrabile su ogni intervallo della forma $[0,n]$. L'unica cosa che credo tu debba fare è dare una giustificazione per la validità di quel passaggio al limite.
Per provare la relazione [tex]\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}[/tex] mi permetto di consigliarti di studiare il seguente:
Teorema[Teorema di fattorizzazione di Weierstrass]
Sia [tex]f[/tex] una funzione olomorfa intera. Supponiamo che [tex]f[/tex] abbia uno zero di ordine [tex]k[/tex] nell'origine. Siano [tex]\{ z_j \}[/tex] gli ulteriori altri zeri della [tex]f[/tex], contati con le rispettive molteplicità. Allora esiste una funzione olomorfa intera [tex]g[/tex] tale che [tex]f(z)=z^k e^{g(z)} \prod_{j=1}^{+\infty} E\Bigl(\frac{z}{z_j},j-1\bigr)[/tex], ove
[tex]E(z,n):=
\begin{cases}
1-z, & \text{se $n=0$,} \\
(1-z) e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}}, & \text{se $n=1,2,\dots$.}
\end{cases}[/tex]
si dice fattore elementare di Weierstrass.
Si provano dei teoremi ad esso collegati e delle formule di fattorizzazione che poi permettono di definire la funziona Gamma di Eulero con la seguente
[tex]\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \Bigl(1+\frac{z}{n}\Bigr)^{-1} e^{\frac{z}{n}}[/tex]
per ogni [tex]z\in\Omega=\C \setminus \{ 0,-1,-2,\dots \}[/tex].
Una volta definite tali nozioni puoi dimostrare la tesi.
Questa strada credo sia quella seguita nel Conway, "Functions of One Complex Variable I"
Teorema[Teorema di fattorizzazione di Weierstrass]
Sia [tex]f[/tex] una funzione olomorfa intera. Supponiamo che [tex]f[/tex] abbia uno zero di ordine [tex]k[/tex] nell'origine. Siano [tex]\{ z_j \}[/tex] gli ulteriori altri zeri della [tex]f[/tex], contati con le rispettive molteplicità. Allora esiste una funzione olomorfa intera [tex]g[/tex] tale che [tex]f(z)=z^k e^{g(z)} \prod_{j=1}^{+\infty} E\Bigl(\frac{z}{z_j},j-1\bigr)[/tex], ove
[tex]E(z,n):=
\begin{cases}
1-z, & \text{se $n=0$,} \\
(1-z) e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}}, & \text{se $n=1,2,\dots$.}
\end{cases}[/tex]
si dice fattore elementare di Weierstrass.
Si provano dei teoremi ad esso collegati e delle formule di fattorizzazione che poi permettono di definire la funziona Gamma di Eulero con la seguente
[tex]\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \Bigl(1+\frac{z}{n}\Bigr)^{-1} e^{\frac{z}{n}}[/tex]
per ogni [tex]z\in\Omega=\C \setminus \{ 0,-1,-2,\dots \}[/tex].
Una volta definite tali nozioni puoi dimostrare la tesi.
Questa strada credo sia quella seguita nel Conway, "Functions of One Complex Variable I"
Interessante il teorema di fattorizzazione di Weierstrass, per cui mi toccherebbe approfondire un po' l'analisi complessa. Posso però ottenere lo stesso risultato con metodi più comuni a un non matematico? Ad esempio qualcuno può illustrarmi più in dettaglio come si può calcolare l'integrale $int_{0}^{+infty} t^(z-1) /(1+z) dt$? Grazie.
Purtroppo una dimostrazione dettagliata la trovi qui ma richiede conoscenze non proprio minime ma nemmeno massime; secondo la mia impressione da neofita dell'analisi complessa!
Una risoluzione completa dell'integrale non l'ho trovata, comunque è suggerito il metodo; vediamo se ci sono riuscito.
$int_{0}^{+infty} t^(a-1) /(1+t) dt$, con $0
$t=e^y$; $y=log(t)$; $dt=e^y dy$
$int_{0}^{+infty} t^(a-1) /(1+t) dt = int_{-infty}^{+infty} e^(ay) /(1+e^y) dy $
Considero la funzione complessa $f(z)=e^(az) /(1+e^z)$, che presenta una singolarità in $z=i pi$. Integro sul perimetro di un rettangolo che va da $-R$ a $R$ sull'asse reale, da $0$ a $i 2 pi$ sull'asse complesso. Per il teorema dei residui:
$int_{-R}^{R} e^(ax) /(1+e^x) dx + int_{0}^{2pi} e^(a(R+ix))/(1+e^(R+ix)) i dx + int_{R}^{-R} e^(a(x+i 2pi)) /(1+e^(x+i2pi)) dx + int_{2pi}^{0} e^(a(-R+ix))/(1+e^(-R+ix)) i dx = 2pi i a_{-1}$, dove $a_(-1)$ è il residuo in $z=i pi$.
Considero il limite $R-> +infty$:
$|e^(a(R+ix))/(1+e^(R+ix)) i|=|e^(a(R+ix))|/|(1+e^(R+ix))|<=e^(aR) /e^R ->0$
Con un ragionamento simile (e anzi più forte) dimostro che anche l'argomento del quarto integrale è infinitesimo per $R->+infty$, ed essendo gli integrali calcolati su intervalli limitati e fissi, il limite di questi due integrali è nullo.
Quindi resta:
$int_{-infty}^{+infty} e^(ax) /(1+e^x) dx - e^(i 2pi a) int_{-infty}^{+infty} e^(ax) /(1+e^x) dx =2pi i a_(-1)$
Calcolo:
$lim_{z->i pi} (e^(az) (z-i pi))/(1+e^z) =lim_{z->i pi} ((a(z-i pi) +1) e^(az))/(e^z)=-e^(i pi a)$ avendo usato De l'Hopital.
Segue che $a_(-1)=-e^(i pi a)$.
Dunque, ponendo $I=int_{-infty}^{+infty} e^(ax) /(1+e^x) dx $:
$I=(-2pi i e^(i pi a))/(1-e^(i 2pi a))= (pi 2i)/(e^(i pi a) -e^(-i pi a)) =(pi)/(sen(pi a))$
$int_{0}^{+infty} t^(a-1) /(1+t) dt$, con $0
$t=e^y$; $y=log(t)$; $dt=e^y dy$
$int_{0}^{+infty} t^(a-1) /(1+t) dt = int_{-infty}^{+infty} e^(ay) /(1+e^y) dy $
Considero la funzione complessa $f(z)=e^(az) /(1+e^z)$, che presenta una singolarità in $z=i pi$. Integro sul perimetro di un rettangolo che va da $-R$ a $R$ sull'asse reale, da $0$ a $i 2 pi$ sull'asse complesso. Per il teorema dei residui:
$int_{-R}^{R} e^(ax) /(1+e^x) dx + int_{0}^{2pi} e^(a(R+ix))/(1+e^(R+ix)) i dx + int_{R}^{-R} e^(a(x+i 2pi)) /(1+e^(x+i2pi)) dx + int_{2pi}^{0} e^(a(-R+ix))/(1+e^(-R+ix)) i dx = 2pi i a_{-1}$, dove $a_(-1)$ è il residuo in $z=i pi$.
Considero il limite $R-> +infty$:
$|e^(a(R+ix))/(1+e^(R+ix)) i|=|e^(a(R+ix))|/|(1+e^(R+ix))|<=e^(aR) /e^R ->0$
Con un ragionamento simile (e anzi più forte) dimostro che anche l'argomento del quarto integrale è infinitesimo per $R->+infty$, ed essendo gli integrali calcolati su intervalli limitati e fissi, il limite di questi due integrali è nullo.
Quindi resta:
$int_{-infty}^{+infty} e^(ax) /(1+e^x) dx - e^(i 2pi a) int_{-infty}^{+infty} e^(ax) /(1+e^x) dx =2pi i a_(-1)$
Calcolo:
$lim_{z->i pi} (e^(az) (z-i pi))/(1+e^z) =lim_{z->i pi} ((a(z-i pi) +1) e^(az))/(e^z)=-e^(i pi a)$ avendo usato De l'Hopital.
Segue che $a_(-1)=-e^(i pi a)$.
Dunque, ponendo $I=int_{-infty}^{+infty} e^(ax) /(1+e^x) dx $:
$I=(-2pi i e^(i pi a))/(1-e^(i 2pi a))= (pi 2i)/(e^(i pi a) -e^(-i pi a)) =(pi)/(sen(pi a))$
"robbstark":
Interessante il teorema di fattorizzazione di Weierstrass, per cui mi toccherebbe approfondire un po' l'analisi complessa. Posso però ottenere lo stesso risultato con metodi più comuni a un non matematico? Ad esempio qualcuno può illustrarmi più in dettaglio come si può calcolare l'integrale $int_{0}^{+infty} t^(z-1) /(1+z) dt$? Grazie.
Che io sappia non c'è un metodo per risolvere l'integrale in questione prescindendo dalla conoscenza dell'analisi complessa. Scusami l'invadenza ma in che ambito ti serve utilizzare la funzione Gamma?
In realtà non mi serve a niente. L'ho incontrata in Fisica Statistica Classica (studio Fisica all'università), ma mi non mi serviva molto indagare le sue proprietà, tranne l'approssimazione di Stirling e la formula di ricorrenza. Mi piace però moltissimo la matematica, quindi qualche rara volta, riesco a trovare tempo per studiare o approfondire qualche argomento. E su un libro intitolato "Analisi di Fourier" ho trovato un capitolo dedicato a questa funzione e alla funzione Beta.
Comunue qualcosa di analisi complessa l'ho studiata, ad esempio per gli integrali la formula di Cauchy e il teorema dei residui, solo che non avendo fatto molta pratica e non trattandola da molto, avevo difficoltà a trovare un cammino funzionale per calcolare l'integrale, come fatto poi (spero correttamente) nel post precedente.
Comunue qualcosa di analisi complessa l'ho studiata, ad esempio per gli integrali la formula di Cauchy e il teorema dei residui, solo che non avendo fatto molta pratica e non trattandola da molto, avevo difficoltà a trovare un cammino funzionale per calcolare l'integrale, come fatto poi (spero correttamente) nel post precedente.
beh allora bingo...devi risolvere l'integrale usando il teorema dei residui...la strada che ti ha consigliato gugo 
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