Funzione f(x,y) prolungabile con continuità ?

[Johnny_Mnemonic]

Allora dovrei stabilire se la funzione:

$f(x,y)=x^{3}*\log(x^{2}+y^{2})$

è prolungabile con continuità.

SOLUZIONE:

Allora la prima cosa che ho osservato è che $domf=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}>0\}=\mathbb{R}^{2}\\\{(0,0)\}$.

Quindi f è prolungabile con continuità in (0,0) se esiste un intorno di tale punto nel quale f è derivabile e se le derivate parziali sono continue in (0,0), cioè per il teorema del differenziale totale se f è differenziabile in (0,0).

Ragà procedo bene così ho ci sono errori sul ragionamento?

[Johnny_Mnemonic]

mi scuso per aver scritto ho al posto di o come oppure -_-'....

[dissonance]

Puoi usare il pulsante MODIFICA per apportare queste piccole correzioni. Comunque il tuo approccio è concettualmente sbagliato, purtroppo. Si sta parlando di continuità e non di differenziabilità. Devi verificare se la tua funzione si può prolungare per continuità in $(0, 0)$, e per fare questo devi considerare un certo limite... Quale?

[Johnny_Mnemonic]

devo considerare il limite di una delle 1000 restrizioni possibili?

p.s. scusa per MODIFICA ^^

[dissonance]

Si, e poi dopo che le hai considerate tutte e mille ne spunterà fuori la milleeunesima e, come direbbe Altan, "la menata non finirà mai". No, dai, devi calcolare questo limite:

$lim_{(x,y)->(0,0)}f(x, y)$

Non hai mai fatto esercizi di Analisi 1 in cui ti si chiedeva se una certa funzione è prolungabile per continuità? Qua è esattamente la stessa cosa.

[Johnny_Mnemonic]

certo che li ho fatti ^^ .... solo che mi sembrava troppo ovvio :p ........ quindi posso dire subito che il limite tende a 0*(-infinito) e quindi ho una forma indeterminata.

[Johnny_Mnemonic]

soltanto che con i limiti di funzioni di una variabile era più facile...come tratto i limiti di funzioni di due var se hanno una forma indeterminata?

[dissonance]

E infatti sono tecniche diverse, più complicate. Qui una rapida trattazione:

https://www.matematicamente.it/forum/sui ... 51148.html