Funzione f

[dennysmathprof]

se per la continua [tex]f :\int_{0}^{x}f(t)dt=(f(x))^2+c,c \in \mathbb R[/tex],
cerhiamo la f

[Quinzio]

Se eseguo la derivata da ambo le parti:

$f(x)=2f(x)f'(x)$

da cui

$f'(x)=1/2$

e

$f(x)=x/2+k$.

$\int_0^x f(t)dt = x^2/4 +kx $
$(f(x))^2=x^2/4+kx+k^2+c$

quindi sarà $c=-k^2$

Può andare ?

[Gi81]

c'è un problema: $f$ è "solo" continua... non è detto che sia derivabile.

P.s. :anche $f(x)=0$ (con $c=0$) è soluzione

[ciampax]

Osserviamo per prima cosa che se $x=0$ l'equazione diventa $0=(f(0))^2+c$ e pertanto $c\le 0$ e $f(0)=\pm\sqrt{-c}$ sono le uniche condizioni iniziali possibili.

Indichiamo con $F(x)=\int_0^x f(t)\ dt$. $F$ è derivabile dato che $f$ e continua e si ha $F'(x)=f(x)$. Pertanto l'equazione si riduce a
$$F(x)=(F'(x))^2+c$$
Derivando ulteriormente troviamo
$$F'=2F' F''\ \Rightarrow\ F'=0\ \vee\ F''=\frac{1}{2}$$
Dalla prima $F(x)=a$ costante e sostituendo nell'equazione originale per $F$, $a=c$. Pertanto $F(x)=c$ e $f(x)=0$, con $c=0$.
Dalla seconda si ha $F(x)=\frac{x^2}{4}+ax+b$, da cui sostituendo nuovamente ed essendo $F'(x)=\frac{x}{2}+a$
$$\frac{x^2}{4}+ax+b=\frac{x^2}{4}+ax+a^2+c$$
e quindi $b=a^2+c$. D'altra parte deve essere pure $f(0)=a=\pm\sqrt{-c}$ che sostituito nella precedente condizione porta a $b=-c+c=0$. Pertanto la soluzione trovata per $F$ è compatibile e si ha $f(x)=\frac{x}{2}\pm\sqrt{-c}$.

Mah, boh, mi sembra che funzioni.

[dennysmathprof]

Grazie a tutti e buon ferragosto.

dennys