Funzione f

[dennysmathprof]

se la funzione [tex]f:(0,\pi/2)\rightarrow\mathbb{R}[/tex] continua nel suo dom. e:
[tex]x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{t^2}{\cos^2(t)}\right)dt}[/tex]

α) Cerchiamo la f
β) il limite [tex]\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}.[/tex]

[gugo82]

Una soluzione veloce...

Dall'equazione integrale soddisfatta da \(f\) segue che:
\[
f(x) = \frac{1}{x^2}\ \left( -1 + \intop_1^x \left( f(t) + \frac{t^2}{\cos^2 t}\right)\ \text{d} t\right)\; ;
\]
ciò implica che \(f(1)=-1\) e che la \(f\) è derivabile nell'intervallo aperto \(]0,\pi/2[\) (a norma del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale).
Derivando la suddetta equazione integrale si vede che \(f\) soddisfa il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
x^2\ f^\prime (x) + (2x-1)\ f(x) = \frac{x^2}{\cos^2 x}\\
f(1)=-1
\end{cases}
\]
il cui fattore integrante è \(e^{1/x}\); conseguentemente, il problema di Cauchy si riscrive:
\[
\begin{cases}
\left( x^2\ e^{1/x}\ f(x)\right)^\prime = \frac{x^2\ e^{1/x}}{\cos^2 x} \\
f(1)=-1
\end{cases}
\]
e integrando si trova:
\[
x^2\ e^{1/x}\ f(x) + e =\intop_1^x \left( t^2\ e^{1/t}\ f(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \intop_1^x \frac{t^2\ e^{1/t}}{\cos^2 t}\ \text{d} t
\]
da cui segue un'espressione esplicita per \(f\):
\[
\tag{A}
f(x) = \frac{1}{x^2\ e^{1/x}}\ \left( -e + \intop_1^x \frac{t^2\ e^{1/t}}{\cos^2 t}\ \text{d} t \right)\; .
\]

Usando la (A) si ottiene:
\[
\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2\ e^{1/x}}\ \left( -e + \intop_1^x \frac{t^2\ e^{1/t}}{\cos^2 t}\ \text{d} t \right) \; ,
\]
che è nella forma indeterminata \(\infty/\infty\), dato che l'integrale \(\int_1^x \frac{t^2\ e^{1/t}}{\cos^2 t}\ \text{d} t\) diverge per \(x\to 0\); ma, usando il teorema di de l'Hôpital si vede che:
\[
\tag{B}
\lim_{x\to 0^+} f(x) \stackrel{\text{H}}{=} \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{(2x-1)\ \cancel{e^{1/x}}}\ \frac{x^2\ \cancel{e^{1/x}}}{\cos^2 x} = 0\; .
\]

[dennysmathprof]

Buogiorno

Grazie Gugo della risposta .Quella ho trovato anche io .Volevo chiedere si puo calcolare
l'integrale e trovare la f piu semplice?