Funzione EXP
Ragazzi ho un pò di problemi con questo esercizio a causa della funzione exp.
Mi spiego:
l'esercizio vuole che si trovino i punti stazionari della seguente funzione
$f(x,y)=xexp(y^2-(x-1)^2)$
ora non capisco, sul libro ho letto che quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$ ma poiché c'è anche la $x$ come devo fare??? Non riesco a calcolare le derivate parziali.
Inoltre perché quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$? Non l'ho capito.
La funzione $exp$ è come $e^g(x)$, cioè quando risolvo l'esercizio per comodità posso pensare come se ci fosse $e^g(x)$???
Scusatemi per le tante domande ma davvero non capisco questa cosa, e sul libro non trovo altro.
Mi spiego:
l'esercizio vuole che si trovino i punti stazionari della seguente funzione
$f(x,y)=xexp(y^2-(x-1)^2)$
ora non capisco, sul libro ho letto che quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$ ma poiché c'è anche la $x$ come devo fare??? Non riesco a calcolare le derivate parziali.
Inoltre perché quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$? Non l'ho capito.
La funzione $exp$ è come $e^g(x)$, cioè quando risolvo l'esercizio per comodità posso pensare come se ci fosse $e^g(x)$???
Scusatemi per le tante domande ma davvero non capisco questa cosa, e sul libro non trovo altro.
Risposte
"flower78":
Perché quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$? Non l'ho capito.
Se hai una funzione $f(x)$ del tipo $e^(g(x))$ cosa devi fare per trovarne i punti stazionari ?
Devi trovari i punti che azzerano la derivata prima; prova a vedere cosa succede quando derivi $e^(g(x))$ e troverai la risposta.
"flower78":
Non riesco a calcolare le derivate parziali.
Qual è il problema nel calcolare le derivate parziali ?
"Relegal":
[quote="flower78"]
Perché quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$? Non l'ho capito.
Se hai una funzione $f(x)$ del tipo $e^(g(x))$ cosa devi fare per trovarne i punti stazionari ?
Devi trovari i punti che azzerano la derivata prima; prova a vedere cosa succede quando derivi $e^(g(x))$ e troverai la risposta. [/quote]
allora succede che ho una cosa del tipo $e^(g(x))g'(x)=0$ quindi non potendo verificarsi che $e^(g(x))=0$ si annullerà solo per $g'(x)=0$ giusto???
"Relegal":
[quote="flower78"]Non riesco a calcolare le derivate parziali.
Qual è il problema nel calcolare le derivate parziali ?[/quote]
Il problema è che non ho capito se devo considerare exp o no....se considero exp le derivate parziali verrebbero (ci riprovo):
$f_x(x,y)=exp(y^2-(x-1)^2)+xexp(y^2-(x-1)^2)[-2(x-1)]$
$f_y(x,y)=2xyexp(y^2-(x-1)^2)$
quindi la seconda si annulla per $x=0$ e $y=0$, se sostituisco $x=0$ nella prima mi risulta che
$exp(y^2-(x-1)^2)=0$ e questo non accade mai....
se sostituisco $y=0$
verrebbe semplificando exp $2x^2-2x-1=0$ da cui i punti
$((1-sqrt(3))/2,0)$ e $((1+sqrt(3))/2,0)$
ma dubito che sia cosi...
non ho capito se anche in questo caso posso non considerare exp
e quindi considerare la funzione come se fosse
$x(y^2-(x-1)^2)$
"flower78":
[quote="Relegal"][quote="flower78"]
Perché quando la funzione è del tipo $e^g(x)$ basta studiare la $g(x)$? Non l'ho capito.
Se hai una funzione $f(x)$ del tipo $e^(g(x))$ cosa devi fare per trovarne i punti stazionari ?
Devi trovari i punti che azzerano la derivata prima; prova a vedere cosa succede quando derivi $e^(g(x))$ e troverai la risposta. [/quote]
allora succede che ho una cosa del tipo $e^(g(x))g'(x)=0$ quindi non potendo verificarsi che $e^(g(x))=0$ si annullerà solo per $g'(x)=0$ giusto???
[...][/quote]
Posso dirti che di sicuro qui ci hai preso in pieno, bravo
Per il resto mi è sorto un dubbio e passo la parola a Relegal, non vorrei dirti cose sbagliate.
ok grazie mille 
allora aspettiamo Relegal o qualcun altro che mi sa dare conferma del resto
allora aspettiamo Relegal o qualcun altro che mi sa dare conferma del resto
"flower78":
ok grazie mille
allora aspettiamo Relegal o qualcun altro che mi sa dare conferma del resto
Non ho controllato i conti, però anche io avrei cercato il gradiente della funzione e poi avrei cercato i punti che lo annullano.
@Observer: Quale è il tuo dubbio ? Te lo chiedo perchè sicuramente sarà lecito e io mi sarò dimenticato qualcosa !
ma quindi in questo caso exp va considerato giusto?
Perché ho provato a non considerarlo e ottengo risultati diversi, quindi in questo caso non si può diciamo "omettere".
Perché ho provato a non considerarlo e ottengo risultati diversi, quindi in questo caso non si può diciamo "omettere".
"flower78":Ecco un thread che mi piace!
ma quindi in questo caso exp va considerato giusto?
Perché ho provato a non considerarlo e ottengo risultati diversi, quindi in questo caso non si può diciamo "omettere".
Porto la mia briciolina di sapienza.
Il punto chiave (quello dell'EXP) è il seguente.
La funzione exp è strettamente crescente, e questo è quello che conta.
$e^{g(x)}$ cresce/decresce esattamente laddove $g(x)$ cresce/decresce. Ma, ripeto, questo è dovuto esclusivamente alla stretta crescenza dell'esponenziale. Infatti la stessa cosa vale per $f(g(x))$, che cresce/decresce laddove $g(x)$ cresce/decresce, purché la funzione $f$ sia strettamente crescente.
E il punto fondamentale è che vale: $f(g(x_1)) \le f(g(x_2))$ se e solo se $g(x_1) \le g(x_2)$, grazie alla stretta crescenza di $f$. (Dim per esercizio; tenere presente che $f$ è invertibile in quanto strettamente crescente).
Nell'esercizio, c'è invece quella $x$ fastidiosa... In effetti lo è, fastidiosa. Non rende possibile usare i fatti descritti qui sopra.
in alternativa scrivi $xe^(y^2-(x-1)^2) = e^ln(x)e^(y^2-(x-1)^2) = e^(lnx + y^2-(x-1)^2)$ che è del tipo $e^g(x,y)$.
Trovare i punti stazionari significa trovare i punti in cui si annullano le derivate prime. derivando $e^g(x,y)$ rispetto a x ottieni $e^(g(x,y)delg/(delx)) = 0 -> delg/(delx)=0$, stessa cosa riguardo a y...
P.S
Non riesco a visualizzare il mio post nè quello di Fioravante!
Trovare i punti stazionari significa trovare i punti in cui si annullano le derivate prime. derivando $e^g(x,y)$ rispetto a x ottieni $e^(g(x,y)delg/(delx)) = 0 -> delg/(delx)=0$, stessa cosa riguardo a y...
P.S
Non riesco a visualizzare il mio post nè quello di Fioravante!
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