Funzione esponenziale, Help
Spero di farcela a postare il testo...è la prima volta che uso mathML, quindi scusatemi se ci sarà qualche errore di digitazione.
Vorrei sapere se ci sono errori nello svolgimento e se mi aiutate nelle parti in cui resto fermo.
La Funzione è:
$ e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $
Determinare l'insieme di definizione,le eventuali intersezioni con gli assi, le eventuali simmetrie, gli eventuali asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
Determinare gli eventuali estremi relativi, gli intervalli in cui la funzione risulta monotona.
------------------------------------------------------------------------------------------------------
1)Insieme di definizione:
$ x>0 $
D= (0,1) U (1, + infinito)
$ x<0 $
D= (- infinito, -1) U (-1,0)
2)Intersezione con gli assi:
$ {(x=0),(y=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}):} $
$ {(x=0),(y=e^9):} $
Quindi il punto è $ A=(0,e^9) $
$ {(y=0),(e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=0):} $
$ {(y=0),(loge^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=log0):}$
Non lo interseca.
3)simmetrie:
Secondo me non presenta particolari simmetrie poichè il denominatore cambia da pari a dispari e non sarà mai uguale. Magari ditemi una dicitura migliore...
4)asintoti orizzontali:
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $
con x>0
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(x-1)}=+oo $
con x<0
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(-x-1)}=+oo $
Quindi non ci sono asintoti orizzontali.
5) Asintoti verticali
con x>0
$ lim_{x to 1} e^{(4x^2-9)/(x-1)} = lim_{x to 1} e^(-oo)=0 $
con x<0
$ lim_{x to 1} e^{(4x^2-9)/(-x-1)} = lim_{x to 1} e^(-oo)=0 $
Giusto?, ma in questo caso non esistono quindi...
6)asintoti obliqui:
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(x-1)}/x = lim_{x to oo}loge^{(4x^2-9)/(x-1)} - logx = oo $
Non ci sono asintoti obliqui.
7) Estremi relativi:
con x>0
$ f'(x)= e^{(4x^2-9)/(x-1)}[[(8x)(x-1)-(4x^2-9)]/(x-1)^2] $
come mi dovrei comportare qui?
io ho messo x!=1 e calcolato $ 4x^2-8x+9>0 $
ed il risultato è qualsiasi x, quindi non ci sono estremi relativi?
con x<0 invece ho trovato che non esiste nessuna x.
8) a questo punto gli intervalli in cui la funzione risulta monotona quali sono? Tutti?
Aspetto risposte
Vorrei sapere se ci sono errori nello svolgimento e se mi aiutate nelle parti in cui resto fermo.
La Funzione è:
$ e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $
Determinare l'insieme di definizione,le eventuali intersezioni con gli assi, le eventuali simmetrie, gli eventuali asintoti orizzontali, verticali, obliqui.
Determinare gli eventuali estremi relativi, gli intervalli in cui la funzione risulta monotona.
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1)Insieme di definizione:
$ x>0 $
D= (0,1) U (1, + infinito)
$ x<0 $
D= (- infinito, -1) U (-1,0)
2)Intersezione con gli assi:
$ {(x=0),(y=e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}):} $
$ {(x=0),(y=e^9):} $
Quindi il punto è $ A=(0,e^9) $
$ {(y=0),(e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=0):} $
$ {(y=0),(loge^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=log0):}$
Non lo interseca.
3)simmetrie:
Secondo me non presenta particolari simmetrie poichè il denominatore cambia da pari a dispari e non sarà mai uguale. Magari ditemi una dicitura migliore...
4)asintoti orizzontali:
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $
con x>0
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(x-1)}=+oo $
con x<0
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(-x-1)}=+oo $
Quindi non ci sono asintoti orizzontali.
5) Asintoti verticali
con x>0
$ lim_{x to 1} e^{(4x^2-9)/(x-1)} = lim_{x to 1} e^(-oo)=0 $
con x<0
$ lim_{x to 1} e^{(4x^2-9)/(-x-1)} = lim_{x to 1} e^(-oo)=0 $
Giusto?, ma in questo caso non esistono quindi...
6)asintoti obliqui:
$ lim_{x to oo} e^{(4x^2-9)/(x-1)}/x = lim_{x to oo}loge^{(4x^2-9)/(x-1)} - logx = oo $
Non ci sono asintoti obliqui.
7) Estremi relativi:
con x>0
$ f'(x)= e^{(4x^2-9)/(x-1)}[[(8x)(x-1)-(4x^2-9)]/(x-1)^2] $
come mi dovrei comportare qui?
io ho messo x!=1 e calcolato $ 4x^2-8x+9>0 $
ed il risultato è qualsiasi x, quindi non ci sono estremi relativi?
con x<0 invece ho trovato che non esiste nessuna x.
8) a questo punto gli intervalli in cui la funzione risulta monotona quali sono? Tutti?
Aspetto risposte
Risposte
3 brevi commenti
- ins di def: ti sei dimenticata/o $0$
- intersezioni asse $x$: io avrei detto che l'esponenziale assume sempre valori (strettamente) positivi e quindi la funzione data non si potrà mai annullare
- simmetrie: la funzione è "pari" (ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle $y$. Infatti $f(-x)=f(x)$. Questo dipende dal fatto che $|-x|=|x|$ e $(-x)^2 = x^2$
Lasio il resto ad altri...
ciao e complimenti per il MathML
- ins di def: ti sei dimenticata/o $0$
- intersezioni asse $x$: io avrei detto che l'esponenziale assume sempre valori (strettamente) positivi e quindi la funzione data non si potrà mai annullare
- simmetrie: la funzione è "pari" (ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle $y$. Infatti $f(-x)=f(x)$. Questo dipende dal fatto che $|-x|=|x|$ e $(-x)^2 = x^2$
Lasio il resto ad altri...
ciao e complimenti per il MathML
"Fioravante Patrone":
3 brevi commenti
- ins di def: ti sei dimenticata/o $0$
- intersezioni asse $x$: io avrei detto che l'esponenziale assume sempre valori (strettamente) positivi e quindi la funzione data non si potrà mai annullare
- simmetrie: la funzione è "pari" (ovvero il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle $y$. Infatti $f(-x)=f(x)$. Questo dipende dal fatto che $|-x|=|x|$ e $(-x)^2 = x^2$
Lasio il resto ad altri...
-ins di def: in che senso mi sono dimenticato 0 ?
-interserzione con l'asse x:
se io ho
$ {(y=0),(e^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=0):} $
$ {(y=0),(loge^{(4x^2-9)/(|x|-1)}=log0):}$
l'esponenziale dove ammette valori positivi? potresti dirmi il procedimento?
-simmetrie:
si ha che la funzione è "pari" solo nel caso di x<0 , giusto?
- ins. di def.: hai distinto i casi $x<0$ e $x>0$. E lo $0$ lo butti nella spazzatura?
- la tua funzione è: $ e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $. Ora, $e^t > 0$ per ogni numero reale $t$. Allora, se $x$ sta nell'ins. di def. della tua funzione, $(4x^2-9)/(|x|-1)$ sarà un numero reale o no? Quindi, la tua funzione non si può mai annullare. Comunque, non ho detto che la tua soluzione fosse sbagliata, eh! Anche se io avrei evitato, anche sotto tortura, di scrivere $log \ 0$
- non capisco la tua contro-osservazione. Anzi, per essere preciso, dire: "la funzione è "pari" solo nel caso di x<0 " è completamente privo di senso. Mi sa che non ti è chiaro cosa vuol dire $|x|$.
ciao
- la tua funzione è: $ e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $. Ora, $e^t > 0$ per ogni numero reale $t$. Allora, se $x$ sta nell'ins. di def. della tua funzione, $(4x^2-9)/(|x|-1)$ sarà un numero reale o no? Quindi, la tua funzione non si può mai annullare. Comunque, non ho detto che la tua soluzione fosse sbagliata, eh! Anche se io avrei evitato, anche sotto tortura, di scrivere $log \ 0$
- non capisco la tua contro-osservazione. Anzi, per essere preciso, dire: "la funzione è "pari" solo nel caso di x<0 " è completamente privo di senso. Mi sa che non ti è chiaro cosa vuol dire $|x|$.
ciao
"Fioravante Patrone":
- ins. di def.: hai distinto i casi $x<0$ e $x>0$. E lo $0$ lo butti nella spazzatura?
- la tua funzione è: $ e^{(4x^2-9)/(|x|-1)} $. Ora, $e^t > 0$ per ogni numero reale $t$. Allora, se $x$ sta nell'ins. di def. della tua funzione, $(4x^2-9)/(|x|-1)$ sarà un numero reale o no? Quindi, la tua funzione non si può mai annullare. Comunque, non ho detto che la tua soluzione fosse sbagliata, eh! Anche se io avrei evitato, anche sotto tortura, di scrivere $log \ 0$
- non capisco la tua contro-osservazione. Anzi, per essere preciso, dire: "la funzione è "pari" solo nel caso di x<0 " è completamente privo di senso. Mi sa che non ti è chiaro cosa vuol dire $|x|$.
ciao
-insieme di def.: giusto, devo vedere anche quando x=0, ovviamente.
- ok
-ho detto quella osservazione perchè ho distinto i casi con x>0 ed x<0, ma, da quello che ho capito dalle tue precisazioni, non c'era bisogno di farlo poichè |x|=|-x| e $ x^2 = (-x)^2 $ . Quindi è pari.
1) Dominio $|x|!=1$ cioè $x!=+-1$
2) Asintoti verticali
$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=+infty$
$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=+infty$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
Quindi $x=+-1$ asintoto verticale
3) Asintoti obliqiu non ci sono perchè
$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$
$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$
4) Se $x>0$ $f'(x)=e^((4x^2-9)/(x-1))*((4x^2-8x+9)/(x-1)^2)$ per cui per $x in (0,1)$ U $(1,+infty)$, la funzione è sempre crescente
Se $x<0$ $f'(x)=e^((4x^2-9)/(-x-1))*((-4x^2-8x-9)/(-x-1)^2)$ per cui per $x in (-infty,-1)$ U $(-1,0)$ la funzione è sempre decrescente
Comunque in $x=+-1$ non risulta derivabile la funzione.Infatti
$lim_(x->1^+)f'(x)=0$
$lim_(x->1^-)f'(x)=+infty$
$lim_(x->-1^+)f'(x)=-infty$
$lim_(x->-1^-)f'(x)=0$
2) Asintoti verticali
$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=+infty$
$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=+infty$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
Quindi $x=+-1$ asintoto verticale
3) Asintoti obliqiu non ci sono perchè
$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$
$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$
4) Se $x>0$ $f'(x)=e^((4x^2-9)/(x-1))*((4x^2-8x+9)/(x-1)^2)$ per cui per $x in (0,1)$ U $(1,+infty)$, la funzione è sempre crescente
Se $x<0$ $f'(x)=e^((4x^2-9)/(-x-1))*((-4x^2-8x-9)/(-x-1)^2)$ per cui per $x in (-infty,-1)$ U $(-1,0)$ la funzione è sempre decrescente
Comunque in $x=+-1$ non risulta derivabile la funzione.Infatti
$lim_(x->1^+)f'(x)=0$
$lim_(x->1^-)f'(x)=+infty$
$lim_(x->-1^+)f'(x)=-infty$
$lim_(x->-1^-)f'(x)=0$
"nicasamarciano":
1) Dominio $|x|!=1$ cioè $x!=+-1$
2) Asintoti verticali
$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=+infty$
$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=+infty$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
Quindi $x=+-1$ asintoto verticale
3) Asintoti obliqiu non ci sono perchè
$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$
$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$
ok, quindi gli asintoti verticali sono uno destro e l'altro sinistro.
potreste darmi qualche schiarita per i punti 7 ed 8?
"anick":
[quote="nicasamarciano"]1) Dominio $|x|!=1$ cioè $x!=+-1$
2) Asintoti verticali
$lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^+)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=+infty$
$lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^+)e^((4x^2-9)/(-x-1))=+infty$
$lim_(x->1^-)e^((4x^2-9)/(|x|-1))=lim_(x->-1^-)e^((4x^2-9)/(x-1))=0$
Quindi $x=+-1$ asintoto verticale
3) Asintoti obliqiu non ci sono perchè
$lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->+infty)(e^((4x^2-9)/(x-1)))/x=+infty$
$lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(|x|-1)))/x=lim_(x->-infty)(e^((4x^2-9)/(-x-1)))/x=-infty$
ok, quindi gli asintoti verticali sono uno destro e l'altro sinistro.
potreste darmi qualche schiarita per i punti 7 ed 8?[/quote]
giusto, ti ho risposto
"nicasamarciano":
giusto, ti ho risposto
molte grazie, davvero. ero arrivato pure io a quelle soluzioni del punto 7 ma non capivo alcune cose(che sicuramente mi sarà scappata dalla parte teorica) e cioè: quando nel testo di questo compito dice "e gli intervalli in cui risulta monotona", dovrei dire solo quando è crescente o decrescente, studiare in pratica la sua monotonia...
Per $x > 0 $,$ !=1$, $f'(x) > 0 $sempre e quindi funzione crescente, mentre per $ x <0, != -1 $ $f'(x)<0 $ sempre e quindi funzione decrescente.
Edit : aggiunto : $x != -1 $
Edit : aggiunto : $x != -1 $
"Camillo":
Per $x > 0 ,! =1$ $f'(x) > 0 $sempre e quindi funzione crescente, mentre per $ x <0 $ $f'(x)<0 $ sempre e quindi funzione decrescente.
I problemi stanno in $+-1$ cioè in $+-1$ non è derivabile come detto nel mio post
capito, d'altra parte quelli sono punti di discontinuità.
"anick":
capito, d'altra parte quelli sono punti di discontinuità.
I punti di discontinuità della funzione e della sua derivata.
Però ricorda che se una funzione è derivabile in un pinto è ivi continua,ma se è continua in un punto non è detto che sia ivi derivabile.
Caso noto prendi $f(x)=|x|$ che è continua in $x=0$ ma non derivabile perchè la sua derivata per $x>0$ è $1$ e per $x<0$ è $-1$
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