Funzione elementare con valore assoluto

[SandroBelgiorno]

Salve ragazzi, non ho mai svolto le funzioni con valore assoluto, ci stavo provando ma probabilmente sbaglio qualche passaggio. Da come so, bisogna unire i grafici di due funzioni. Per esempio per questa funzione io la svolgo in questo modo.
$f(x)= |x+2|/|x-1|$

Standoci valore assoluto prendo in considerazione due funzioni, una con valore positivo e un'altra con valore negativo, ovvero:

1) $f_1(x)= (x+2)/(x-1)$
2) $f_2(x)=(-x-2)/(-x+1)$

Svolgo la prima funzione:
Il dominio considero $x != 1$ $D=$ $ ]-oo,11,oo[$

Svolgo il segno:
$f_1(x)>0$
$N>0$
$x > -2$
$D>0$
$x>1$ quindi la funzione è positiva per $-21$

i limiti mi vengono per più e meno infinito $Y=1$ e limite per x che tende a 1, $Y=+-oo$

il grafico mi viene così :

http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... fgv7vivkq2

Ora svolgo l'altra funzione:
$f_2(x)=$ $(-x-2)/(-x+1)$

Il dominio è $]-oo,11,+oo[$

Il segno

$N>0$ $x<-2$
$D>0$ $x<1$

quindi: $-21$

svolgo i limiti, a più e meno infinito mi viene 1, mentre per x che tende a 1 mi viene più e meno infinito per 1 da destra e sinistra. Il grafico mi viene così:

http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... 6dku5lhprf

tra l'altro uguale alla prima funzione per x che è positivo xD
quindi da quello che so bisognerebbe unire i due grafici , $f_1(x)>0$ e $f_2(x)<0$

tuttavia non viene lo stesso grafico della funzione svolta in modo corretto. Che è questo:

http://www.wolframalpha.com/share/clip? ... j388rutjdu

potete dirmi dove sbaglio? Grazie(scusate se l'argomento è semplice ma.. non lo è per me xD)

[gio73]

Ciao Belgy, io ho una certa età e nessuna simpatia per i grafici fatti da programmi quindi non li guardo e ragiono insieme a te, ma tu devi sempre fare attenzione e cercare di capire perchè a volte mi scappa qualche svarione, ok?
Cominciamo: ragiono lentamente che male non fa, vediamo di "spezzare" i valori assoluti in varie funzioni

se $x>1$ la mia funzione la posso scrivere così: $f(x)=(x+2)/(x-1)$
se $-2<=x<1$ la mia funzione sarà: $f(x)=(x+2)/(1-x)$
se $x<-2$ allora $f(x)=(2-x)/(1-x)$

nota bene che $x=1$ non l'abbiamo considerato perchè lì la funzione non è definita. Ora a me sembra di dover studiare 3 pezzi, non 2, ti torna?

[SandroBelgiorno]

Hai fatto questo tipo di ragionamento vero?

$f_1(x)=(x+2)/(x-1)$ se $x>=-2$ e $x>1$ quindi per $x<=-2 vv x>1$

$f_2(x)= (x+2)/(1-x)$ se $x>=-2$ e $x>1$ quindi per $x<=-2 vv x>1$

$f_3(x)=$ $(-x-2)/(x-1)$ per $x>=-2$ e $x>1$ quindi $x<=-2 vv x>1$

$f_4(x)=$ $(-x-2)/(-x+1)$ per $x>=-2$ e $x>1$ quindi per $x<=-2 vv x>1$

cioè.. alla fine mi trovo 4 funzioni con tutte e quattro le stesse condizioni ovvero per $x<=-2 vv x>1$

Trovando i domini delle 4 funzioni viene $x$ diverso da 1 perciò non consideri $x=1$

Sbaglio?

[gio73]

"BelgyBrown":Hai fatto questo tipo di ragionamento vero?

$f_1(x)=(x+2)/(x-1)$ se $x>=-2$ e $x>1$ quindi per $x<=-2 vv x>1$

$f_2(x)= (x+2)/(1-x)$ se $x>=-2$ e $x>1$ quindi per $x<=-2 vv x>1$

$f_3(x)=$ $(-x-2)/(x-1)$ per $x>=-2$ e $x>1$ quindi $x<=-2 vv x>1$

$f_4(x)=$ $(-x-2)/(-x+1)$ per $x>=-2$ e $x>1$ quindi per $x<=-2 vv x>1$

cioè.. alla fine mi trovo 4 funzioni con tutte e quattro le stesse condizioni ovvero per $x<=-2 vv x>1$


Sbaglio?

Temo di sì, non sono un drago: provo a spiegarmi a parole forse è meglio, poi dimmi cosa capisci da quello che ti spiego.
La Nostra funzione è $f(x)=(|x+2|)/(|x-1|)$
ora il valore assoluto ci dà noia e noi ce ne vogliamo liberare rompendo la funzione in tutti i rami che sono necessari
Allora $x+2$ è maggiore o uguale a 0 se $x>=-2$, mentre il denominatore $x-1$, che non deve mai essere 0 è positivo per x>1. Allora nell'intervallo $(+1;+oo)$ la mia funzione la scrivo $f(x)=(x+2)/(x-1)$
poi nell'intervallo $[-2;+1)$ il numeratore è non negativo e lo posso lasciare scritto $x+2$ mentre il denominatore mi diventerebbe negativo e allora per renderlo positivo come vuole il valore assoluto lo scrivo $1-x$ e così in quell'intervallo la funzione la scrivo così $f(x)=(x+2)/(1-x)$
Riesco a farmi capire?

[SandroBelgiorno]

Forse ora ho capito quindi la cosa sarebbe così...

per $]1,+oo[$ $f(x)= (x+2)/(x-1)$

per $[-2,1[$ $f(x)= (x+2)/(-x+1)$

per $]-oo,-2]$ $f(x)= (-x-2)/(-x+1)$

Svolgo le tre funzioni singolarmente e prendo soltanto il dominio, cioè il grafico di dove esistono le varie funzioni, vero?

[gio73]

fammi sapere quando hai fatto

[SandroBelgiorno]

L'ho svolta e sono riuscito ad ottenere il risultato, grazie mille gio73!