Funzione elementare

[Mitchel]

Domanda forse stupida, ma non riesco a capire...
Perché la funzione RadiceTerza(X alla -2) assume lo stesso andamento (nel diagramma) di una funzione potenza con n pari intero negativo?
Possibile che il fatto che la radice sia cubica mi debba indurre solo a pensare che l'insieme di definizione è tutto R, e considero poi l'argomento della radice ed il suo diagramma( della funzione elementare )"estendendolo" a tutto R?

[gugo82]

La funzione \(\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}}\) è definita in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), quindi non capisco di cosa tu stia parlando...

[Mitchel]

Si è definita in R escluso 0, questo mi è chiaro. Forse ho formulato male la domanda...Sono all'inizio dell'Analisi matematica e le mie conoscenze si limitano alle funzioni elementari. In base a quali presupposti posso dedurre il diagramma della funzione in esame??? Diagramma che (avendo verificato su wolfram, ed avendolo detto la professoressa in classe) è il medesimo di una qualsiasi funzione potenza con esponente negativo pari come ad esempio x alla -4

[gugo82]

Beh, innanzitutto puoi facilmente vedere che la funzione \(f(x):=\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}}\) è pari (cioè \(f(-x)=f(x)\)), quindi basta vedere cosa combina la tua funzione per \(x>0\).

Per \(x>0\) puoi scrivere \(f(x) = x^{-2/3}\), quindi il grafico della funzione è quello di una potenza d'esponente \(-2/3\) che è \(<0\); dalla teoria sai che i grafici delle funzioni \(x^{\alpha}\) con \(\alpha < 0\) sono tutti "simili" perché stanno tutti nel primo quadrante, tendono a zero all'infinito e tendono a infinito a zero.

Quindi il grafico della restrizione all'insieme \(x>0\) è il seguente:
[asvg]xmin=0; xmax=4; ymin=-1; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("x^(-0.666)",0,5);[/asvg]
ed il grafico di \(f\) è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-1; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("x^(-0.666)",0,5);
stroke="dodgerblue";
plot("(-x)^(-0.666)",-5,0);[/asvg]

[Mitchel]

Grazie mille, ora mi è chiarissimo ed è stato un grande aiuto!