Funzione e stima asintotica
Salve a tutti. Avrei due domande da porvi. Inizio con la prima:
Premettendo che con $ P $ si è indicato "pi greco", si vuol calcolare il limite di questa funzione, per $ x -> + oo $, dopo averne determinato la stima asintotica:
$ P^x - sin(1/x^2)
L'esercizio è banale. Io scrivo per che per $ x -> + oo $, la funzione è asintotica a $ P^x - 1/x^2 $. Il mio professore ha invece scritto che la funzione è asintotica a $ P^x $, il che risulta vero eseguendo la verifica... ma come ha fatto? O meglio, da cosa si deduce che $ P^x - 1/x^2 $ è asintotica a $ P^x $
Lo stesso dubbio mi sorge per la successione $ |n| -2|1-n| $ che, scrive, è asintotica a -|n| = -n e quindi, per $ n -> + oo $, tende a $ -oo$
Grazie
Premettendo che con $ P $ si è indicato "pi greco", si vuol calcolare il limite di questa funzione, per $ x -> + oo $, dopo averne determinato la stima asintotica:
$ P^x - sin(1/x^2)
L'esercizio è banale. Io scrivo per che per $ x -> + oo $, la funzione è asintotica a $ P^x - 1/x^2 $. Il mio professore ha invece scritto che la funzione è asintotica a $ P^x $, il che risulta vero eseguendo la verifica... ma come ha fatto? O meglio, da cosa si deduce che $ P^x - 1/x^2 $ è asintotica a $ P^x $
Lo stesso dubbio mi sorge per la successione $ |n| -2|1-n| $ che, scrive, è asintotica a -|n| = -n e quindi, per $ n -> + oo $, tende a $ -oo$
Grazie
Risposte
perché $\pi^x$ è una funzione esponenziale
Forse perchè $lim_(x->+oo)1/x^2=0$ quindi come termine significativo nel limite ti rimane solo $\pi^x$
"itpareid":
perché $\pi^x$ è una funzione esponenziale
Ciao, grazie per la risposta. Potresti però essere meno conciso? Non ho ben capito cosa implichi il fatto che sia una funzione esponenziale...
"Lorin":
Forse perchè $lim_(x->+oo)1/x^2=0$ quindi come termine significativo nel limite ti rimane solo $\pi^x$
Nel calcolo delle stime asintotiche si omettono i termini che tendono a zero?
Per quanto riguarda il secondo limite?
"20021991":
[quote="itpareid"]perché $\pi^x$ è una funzione esponenziale
Ciao, grazie per la risposta. Potresti però essere meno conciso? Non ho ben capito cosa implichi il fatto che sia una funzione esponenziale...[/quote]
in che senso!? Tu nel tuo primo post hai detto che P sta per pigreco e quindi l'ho solo scritto per bene^^.
Per quanto riguarda la stima asintotica, puoi ragionare sul fatto che: quando si cerca di dare una stima asintotica alla funzione (o ad una successione) si tende ad "eliminare" i termini più deboli, cioè quelli che danno poco contributo al risultato finale, come nel nostro caso $1/x^2$, che rispetto a $\pi^x$ è più debole perchè tende a zero. Ad esempio, se vuoi dare una stima di $f(x)=x^2+4$ per $x->+oo$; il 4 rispetto a $x^2$ da poco contributo al fine del calcolo del limite, e quindi possiamo dire che $x^2+4 ~ x^2$, capito?!
Grazie per la gentilissima risposta. Finalmente credo di aver capito il ragionamento.
E' dunque lo stesso motivo per cui per $ x -> +oo , f(x)= (2x - senx)/(2x + cosx) = 2x/2x ->1 $
Infatti, rispetto a 2x, pur non esistendo il limite di senx e cosx, il loro contributo sarebbe irrisorio in quanto, costrette tra -1 e 1, le due funzioni non raggiungerebbero mai l'infinito. E' così?
Continuo però a non capire perché $ |n| -2|1-n| $ è asintotica a -|n| = -n e quindi, per $ n -> + oo $, tende a $ -oo$
Ho pensato per il limite notevole $( (1 + x)^a -1)/(x) -> a $ per $x -> 0 $ ma probabilmente è sbagliato
E' dunque lo stesso motivo per cui per $ x -> +oo , f(x)= (2x - senx)/(2x + cosx) = 2x/2x ->1 $
Infatti, rispetto a 2x, pur non esistendo il limite di senx e cosx, il loro contributo sarebbe irrisorio in quanto, costrette tra -1 e 1, le due funzioni non raggiungerebbero mai l'infinito. E' così?
Continuo però a non capire perché $ |n| -2|1-n| $ è asintotica a -|n| = -n e quindi, per $ n -> + oo $, tende a $ -oo$
Ho pensato per il limite notevole $( (1 + x)^a -1)/(x) -> a $ per $x -> 0 $ ma probabilmente è sbagliato
"20021991":
Grazie per la gentilissima risposta. Finalmente credo di aver capito il ragionamento.
E' dunque lo stesso motivo per cui per $ x -> +oo , f(x)= (2x - senx)/(2x + cosx) = 2x/2x ->1 $
Infatti, rispetto a 2x, pur non esistendo il limite di senx e cosx, il loro contributo sarebbe irrisorio in quanto, costrette tra -1 e 1, le due funzioni non raggiungerebbero mai l'infinito. E' così?
Si, è così.
"20021991":
Continuo però a non capire perché $ |n| -2|1-n| $ è asintotica a -|n| = -n e quindi, per $ n -> + oo $, tende a $ -oo$
Ho pensato per il limite notevole $( (1 + x)^a -1)/(x) -> a $ per $x -> 0 $ ma probabilmente è sbagliato
E' semplice: siccome n tende a più infinito, il primo valore assoluto lo puoi togliere, dal momento che il suo argomento è positivo, mentre, siccome l'argomento del secondo modulo è negativo, puoi toglierlo a patto che ci metti un - davanti, ottenendo:
$n+2(1-n)=n+2-2n=-n+2$. A più infinito la costante 2 è irrisoria, per cui, riassumendo, $|n|-2|1-n|$ è asintotico a $-n$, se $n->+oo$.
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