Funzione due variabili prolungabile per continuità
Ciao,
potreste dirmi se questo esercizio è esatto?
Sia $f(x,y) = 2y^2 / (x^2 + y^2)$, dire se è prolungabile per continuità in $(0,0)$ e nel caso studiarne la differenziabilità in tale punto.
Io ho svolto l'esercizio in questo modo.
Ovviamente il dominio di tale funzione è tutto $R^2 - (0,0)$.
Purchè sia prolungabile deve esistere finito il limite seguente
$lim(x,y) -> (0,0)$.
Ora passando a coordinate polari si può riscrivere la funzione come
$f(x,y) = 2y^2 / (x^2 + y^2) = 2p^2 sen^2(t) / ( p^2) = 2 sen^2(t)$
questo limite è dipendendo dall'angolo t, pertanto il limite non esiste.
Dato che non è prolungabile per continuità non sarà neppure differenziabile in $(0,0)$.
Un altro modo potrebbe essere il seguente?
noto che il limite, se mi avvicino allo zero con due curve differenti, ho due valori del limiti diversi.
Ad esempio, se mi muovo lungo la retta $y=x$, il limite sarà pari a 1,
mentre se mi muovo sulla parabola $y=x^2$ il limte risulta differente.
Potete dirmi se è giusto o sbagliato?
potreste dirmi se questo esercizio è esatto?
Sia $f(x,y) = 2y^2 / (x^2 + y^2)$, dire se è prolungabile per continuità in $(0,0)$ e nel caso studiarne la differenziabilità in tale punto.
Io ho svolto l'esercizio in questo modo.
Ovviamente il dominio di tale funzione è tutto $R^2 - (0,0)$.
Purchè sia prolungabile deve esistere finito il limite seguente
$lim(x,y) -> (0,0)$.
Ora passando a coordinate polari si può riscrivere la funzione come
$f(x,y) = 2y^2 / (x^2 + y^2) = 2p^2 sen^2(t) / ( p^2) = 2 sen^2(t)$
questo limite è dipendendo dall'angolo t, pertanto il limite non esiste.
Dato che non è prolungabile per continuità non sarà neppure differenziabile in $(0,0)$.
Un altro modo potrebbe essere il seguente?
noto che il limite, se mi avvicino allo zero con due curve differenti, ho due valori del limiti diversi.
Ad esempio, se mi muovo lungo la retta $y=x$, il limite sarà pari a 1,
mentre se mi muovo sulla parabola $y=x^2$ il limte risulta differente.
Potete dirmi se è giusto o sbagliato?
Risposte
si infatti vale il seguente:
Teorema (condizione necessaria all'esistenza di un limite)
sia $f: Omega sub RR^2 -> RR$ e sia $(x_0,y_0)$ un punto di accumulazione per $Omega$ per il quale vale:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=L$
allora per qualunque $Omega' sub Omega$ con lo stesso punto di accumulazione si ha:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f|_(Omega')(x,y)=L$
in pratica dice che se il limite esiste allora qualunque per cammino scelto per arrivare al punto di acc il limite della funzione ristretta al cammino ha lo stesso valore che aveva prima.
Teorema (condizione necessaria all'esistenza di un limite)
sia $f: Omega sub RR^2 -> RR$ e sia $(x_0,y_0)$ un punto di accumulazione per $Omega$ per il quale vale:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=L$
allora per qualunque $Omega' sub Omega$ con lo stesso punto di accumulazione si ha:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0))f|_(Omega')(x,y)=L$
in pratica dice che se il limite esiste allora qualunque per cammino scelto per arrivare al punto di acc il limite della funzione ristretta al cammino ha lo stesso valore che aveva prima.
Pertanto l'esercizio l'ho svolto bene?
si
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