Funzione due variabili con valore assoluto
ciao a tutti, ho una funzione di questo tipo:
$f(x,y)=|x-y|(x+y+1)$
e mi si chiede di studiare i max e min relativi.
io ho fatto in questo modo, ho diviso in due parti la funzione:
$f(x,y)=(x-y)(x+y+1)$ per $x-y>=0$
$f(x,y)=-(x-y)(x+y+1)$ per $x-y<=0$
andando a studiare i punti critici della prima vedo che ho il punto $(0,1/2)$ che non soddisfa la condizione $x-y>=0$ e quindi non è punto critico.
nella seconda invece ho il punto $(-1/2,-1/2)$ che soddisfa $x-y<=0$ e quindi è punto critico.
andando a fare l'hessiana vedo che $|H|<0$ e quindi è un punto di sella.
adesso ho dimenticato qualcosa nello studio della funzione??cioè in questo modo non ho nè max nè min??
$f(x,y)=|x-y|(x+y+1)$
e mi si chiede di studiare i max e min relativi.
io ho fatto in questo modo, ho diviso in due parti la funzione:
$f(x,y)=(x-y)(x+y+1)$ per $x-y>=0$
$f(x,y)=-(x-y)(x+y+1)$ per $x-y<=0$
andando a studiare i punti critici della prima vedo che ho il punto $(0,1/2)$ che non soddisfa la condizione $x-y>=0$ e quindi non è punto critico.
nella seconda invece ho il punto $(-1/2,-1/2)$ che soddisfa $x-y<=0$ e quindi è punto critico.
andando a fare l'hessiana vedo che $|H|<0$ e quindi è un punto di sella.
adesso ho dimenticato qualcosa nello studio della funzione??cioè in questo modo non ho nè max nè min??
Risposte
Anche nel primo caso avresti dovuto ottenere $(-1/2,-1/2)$. Tra l'altro, siccome le coordinate di questo punto annullano l'argomento del valore assoluto, dovresti avere molta cura nel calcolare, per esempio, le derivate direzionali. Quindi, se per estremi relativi intendi comunque punti nei quali la funzione è differenziabile, lo studio potrebbe finire qui. Viceversa, bisogna lavorarci.
grazie, hai ragione anche nel primo caso ho lo stesso punto di sella.Il problema mi chiede precisamente di calcolare gli estremi relativi della funzione e basta,quindi credo di aver concluso.
Scusa ma l'Hessiano come l'avresti calcolato?
$f_(xx)=-2 $ $ f_(xy)=0$ $f_(yy)=2$
ah già ma solo adesso mi accorgo che non ho sostituito alcun valore(cioè il punto) ad x e y sulla matrice perchè queste derivate mi danno direttamente come determinante un numero.
ah già ma solo adesso mi accorgo che non ho sostituito alcun valore(cioè il punto) ad x e y sulla matrice perchè queste derivate mi danno direttamente come determinante un numero.
Come ti dicevo prima, se le coordiante del punto annullano il valore assoluto, quando calcoli le derivate direzionali devi stare attento a quale delle due forme della funzione prendere, quella per cui $x - y > 0$ oppure $x - y < 0$. Lo stesso può valere per le derivate parziali, figurati cosa può succedere se addirittura fai le derivate parziali seconde. Intendo dire che se la funzione in quel punto non è differenziabile, o ti fermi ancora prima di calcolare l'Hessiano, o se proprio devi continuare bisogna che lo fai a ragion veduta.
quindi mi sa che questo è il caso quando la funzione è non differenziabile ma devo calcolarmi ugualmente gli estremi.Ma in questo caso ad esempio adesso come devo procedere?
grazie:)
grazie:)
Nel nostro caso, poichè le derivate parziali sono nulle sia per $x - y > 0$ che per $x - y < 0$, sono nulle anche tutte le derivate direzionali. Potresti allora considerare i due diversi Hessiani nelle rispettive regioni di competenza ma, francamente, sarebbe meglio procedere per altra via.
Dovresti notare che $f(x,y) > 0$ quando $x + y + 1 > 0$ e che $f(x,y) < 0$ quando $x + y + 1 < 0$.
Poichè il punto critico soddisfa l'equazione $x + y + 1 = 0$, se ti muovi in un semipiano la funzione cresce essendo positiva, se ti muovi nell'altro semipiano la funzione decresce essendo negativa. Possiamo allora affermare che il punto critico è un punto di sella.
Dovresti notare che $f(x,y) > 0$ quando $x + y + 1 > 0$ e che $f(x,y) < 0$ quando $x + y + 1 < 0$.
Poichè il punto critico soddisfa l'equazione $x + y + 1 = 0$, se ti muovi in un semipiano la funzione cresce essendo positiva, se ti muovi nell'altro semipiano la funzione decresce essendo negativa. Possiamo allora affermare che il punto critico è un punto di sella.
quindi in pratica quando mi trovo in una situazione del genere dove le derivate parziali della funzione sono nulle, allora cerco di fare una sorta di studio della funzione vedendo quando è positiva e quando è negativa.Poi visto che il punto soddisfa l'equazione della funzione e questa da una parte cresce e dall'altra decesce allora è punto di sella.Se invece cresceva sempre quel punto era un minimo relativo giusto?
questo metodo è quasi sempre applicabile oppure lo si può applicare in alcuni casi come questo dove studiare la crescenza e la descrescenza della funzione è facile?
grazie speculor
questo metodo è quasi sempre applicabile oppure lo si può applicare in alcuni casi come questo dove studiare la crescenza e la descrescenza della funzione è facile?
grazie speculor
In presenza di un valore assoluto potresti avere problemi di differenziabilità in tutti i punti $P(x,y)$ che annullano l'argomento del valore assoluto medesimo. Consideriamo allora punti critici che annullano l'argomento del valore assoluto, altrimenti non ci sono problemi. In generale, dopo avere fatto i due casi, potrebbe capitare di trovare un punto critico nel primo caso che non è punto critico nel secondo. La funzione allora non sarebbe differenziabile, francamente, non credo possa capitarti una funzione del genere. Quando il punto critico è lo stesso nei due casi si può dire che la funzione è differenziabile, stiamo trattando quindi una funzione come quella che hai proposto. Non mi sento di darti delle regole assolutamente generali. Se ti viene assegnato un esercizio con il valore assoluto, devo immaginare che si possa arrivare a conclusioni significative in modo abbastanza elementare, quindi le considerazioni che abbiamo fatto nei precedenti messaggi dovrebbero rivelarsi di particoilare utilità.
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