Funzione due variabili

[Dr.Hermann]

Ciao a tutti.
Sto cercando di svolgere questo esercizio di analisi due riguardo lo studio di una funzione a due variabili.
Devo studiare la continuità, derivabilità, differenziabilità,max e min della seguente funzione:


\begin{equation}
z= \begin{cases}
P(x,y)=1& (x,y)=(0,0) \\
S(x,y)=\frac{ysinx}{xsiny}& (x,y)\in E | x\neq0, y\neq0 \\
T(x,y)=\frac{sinx}{x}& (x,0)\in E | x\neq0 \\
Q(x,y)\frac{y}{siny}& (0,y)\in E | y\neq0 \\
\end{cases}
\end{equation}


Dove $ E={(x,y)\in R^2 | -pi/2\leq x \leq pi/2 ; -pi/2 \leq y \leq pi/2 }$

Mi sono disegnato il dominio di x e y e verrebbe un quadrato appunto.
Io sarei tentato di dire che (correggetemi se sbaglio ovviamente!): la P nell'origine vale 1, per le altre la condizione di continuità è già scritta nelle condizioni.
Riguardo la derivabilità ho già delle perplessità.
Sapete darmi qualche consiglio per andare avanti?
Grazie!!

[gio73]

"Dr.Hermann":


\begin{equation}
z= \begin{cases}
P(x,y)=1& (x,y)=(0,0) \\

\end{cases}
\end{equation}


Io sarei tentato di dire che (correggetemi se sbaglio ovviamente!): la P nell'origine vale 1

saresti tentato?

[Dr.Hermann]

No quello è ovvio. L'intento era scrivere tutte le condizioni riguardo continuità,derivabilità e differenziabilità, ma poi per evitare di scrivere una sciocchezza ho cancellato tutto e mi è rimasto scritto. Avrei dovuto cancellare anche quello ma mi è sfuggito. Apprezzo lo stesso il tuo contributo per aiutarmi a svolgerlo.

[anonymous_0b37e9]

Di fatto, la funzione di due variabili è il prodotto di una funzione della sola variabile $x$:

$f(x)=sinx/x$

e di una funzione della sola variabile $y$:

$g(y)=y/siny$

entrambe di classe $C^1$ in $[-\pi/2,\pi/2]$. A questo punto, si dovrebbe riuscire a formalizzare il fatto che anche la funzione di due variabili è di classe $C^1$ in $[-\pi/2,\pi/2]xx[-\pi/2,\pi/2]$. Del resto:

$[f*g] ^^ [(df)/(dx)*g] ^^ [f*(dg)/(dy)]$

sono continue perché prodotto di funzioni continue.