Funzione doppia variabile, punti stazionari
Ciao a tutti, sto preparando l'esame di analisi II ed ho dei dubbi su alcuni esercizi..uno fra questi è sullo studio della funzione doppia, in particolare non riesco a stabilire la natura dei punti stazionari che trovo..il testo è questo :
$ f(x,y) = y + y^2+ ln(1 + x^2 - y) $
a) determinare e disegnare il dominio
il dominio l'ho calcolato ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di zero
$ 1+x^2-y > 0 $ --> $y < 1 + x^2$ non riporto il disegno per semplicità
b) determinare i punti stazionari e stabilirne la natura
quindi calcolo le due derivate parziali
$ partial x => (2x)/(1+x^2-y) $
$ partial y => 1+2y-1/(1+x^2-y) $ che poste uguali a zero a sistema danno come soluzione due punti (0,1) e (0,-1/2)
facendo quindi l Hessiano trovo che
$ partial x x => (2(1+x^2-y) - 4x^2)/(1+x^2-y)^2 $
$ partial x y => (2x)/(1+x^2-y)^2 $ uguale la $partial y x$
$ partial y y => 2 - 1/(1+x^2-y)^2 $
mi risulta quindi in (0,1) $ |(0,0),(0,2)| $ di cui il determinante = 0 e
in (0,-1/2) $ |(0,0),(0,2-4/9)| $ dove il determinante è ancora 0
ora per quanto ne so io sono entrambi casi dubbi e bisogna studiare le derivate prime parziali, quindi trovare una combinazione f'(x,y) che annulli la $partial x$ e la $partial y$, solo che se per la prima ho trovato che con
f'(0,y) $partial x$ viene annullata non riesco a trovare una soluzione per cui $partial y$ possa venire annullata
volevo chiedere consiglio se può essere un semplice errore di calcolo nei procedimenti, se cè una combinazione che annulla la derivata parziale che non riesco a vedere o se cè un altro metodo di studio dei casi dubbi che io non conosco..vi ringrazio anticipatamente come sempre..ciao
$ f(x,y) = y + y^2+ ln(1 + x^2 - y) $
a) determinare e disegnare il dominio
il dominio l'ho calcolato ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di zero
$ 1+x^2-y > 0 $ --> $y < 1 + x^2$ non riporto il disegno per semplicità
b) determinare i punti stazionari e stabilirne la natura
quindi calcolo le due derivate parziali
$ partial x => (2x)/(1+x^2-y) $
$ partial y => 1+2y-1/(1+x^2-y) $ che poste uguali a zero a sistema danno come soluzione due punti (0,1) e (0,-1/2)
facendo quindi l Hessiano trovo che
$ partial x x => (2(1+x^2-y) - 4x^2)/(1+x^2-y)^2 $
$ partial x y => (2x)/(1+x^2-y)^2 $ uguale la $partial y x$
$ partial y y => 2 - 1/(1+x^2-y)^2 $
mi risulta quindi in (0,1) $ |(0,0),(0,2)| $ di cui il determinante = 0 e
in (0,-1/2) $ |(0,0),(0,2-4/9)| $ dove il determinante è ancora 0
ora per quanto ne so io sono entrambi casi dubbi e bisogna studiare le derivate prime parziali, quindi trovare una combinazione f'(x,y) che annulli la $partial x$ e la $partial y$, solo che se per la prima ho trovato che con
f'(0,y) $partial x$ viene annullata non riesco a trovare una soluzione per cui $partial y$ possa venire annullata
volevo chiedere consiglio se può essere un semplice errore di calcolo nei procedimenti, se cè una combinazione che annulla la derivata parziale che non riesco a vedere o se cè un altro metodo di studio dei casi dubbi che io non conosco..vi ringrazio anticipatamente come sempre..ciao
Risposte
"Vash437":
il dominio l'ho calcolato ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di zero, $y<1+x^2$ [...] poste uguali a zero a sistema danno come soluzione due punti (0,1) e (0,-1/2)
Fidandomi dei tuoi calcoli, comincio con il dirti che dei due punti ne devi considerare uno solo perché l'altro non è compreso nel dominio.
Se prendi $(0,1)$ e provi a vedere se c'è nel dominio ottieni $1<1+0$ cioè $1<1$ (sennò vedendo sulla definizione originaria puoi vedere che $(0,1)$ annulla l'argomento del logaritmo oltre che annulla anche il denominatore della derivata).
Inoltre, calcolando l'hessiano in $(0,-1/2)$ non hai zero (mi fido dei tuoi calcoli per le derivate seconde, mi limito a sostituire
).$f_(x x) (0,-1/2)= \frac{2(1-1/2)}{(1+1/2)^2}= \frac{1}{9/4}=4/9$
$f_(xy) (0,-1/2)= 0 = f_(xy)(0,-1/2)$
$f_(yy) (0,-1/2)= 2- \frac{1}{(1+1/2)^2}=2-4/9=14/9$
Il determinante dell'Hessiano in $(0,-1/2)$ vale $ 4/9 \cdot 14/9 -0= 56/9 \ne 0$.
EDIT (Rifacendo qualche calcolo)
Mi viene un unico punto critico che è $(0,0)$ e non mi viene $(0,1)$ - tra l'altro annullerebbe il denominatore delle derivate prime se ci fosse come solluzione - e nemmeno $(0,-1/2)$: in quest'ultimo caso lascio comunque quanto detto come "esercizio per il calcolo dell'Hessiano in un punto $(0,-1/2)$".
il punto (0,-1/2) l'avevo proprio cannato, sarà stata la stanchezza! ti ringrazio per la dritta del punto (0,1) perchè in effetti non ci avevo fatto caso..
okay quindi torna tutto, in sostanza essendo 56/9 > 0 controllo se $partial x x$ in (0,-1/2) sia > o < di 0, in questo caso essendo 4/9 vedo che il punto risulta essere un minimo relativo ti ringrazio tantissimo, sei stato illuminante
okay quindi torna tutto, in sostanza essendo 56/9 > 0 controllo se $partial x x$ in (0,-1/2) sia > o < di 0, in questo caso essendo 4/9 vedo che il punto risulta essere un minimo relativo
ti ringrazio tantissimo, sei stato illuminante
mm ok l'ho rifatto anchio ed in effetti non era giusto, ora ho trovato il punto (0,0) ma anche un punto (0,1/2)
in sostanza dalla $partial x = 0$ trovo x=0
sostituendo nella $partial y$ ho $1+2y -1/(1-y) = 0$ e da qui sommando la frazione ottengo un equazione di secondo grado
$2y^2-y = 0$ da cui le soluzioni y=0 e y= 1/2
in sostanza dalla $partial x = 0$ trovo x=0
sostituendo nella $partial y$ ho $1+2y -1/(1-y) = 0$ e da qui sommando la frazione ottengo un equazione di secondo grado
$2y^2-y = 0$ da cui le soluzioni y=0 e y= 1/2
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