Funzione discontinua..dubbio.
Ciao a tutti mi sono imbattuta in questo esercizio, ma non so se la funzione ha la discontinuita' eliminabile. Controllate per favore. Grazie in anticipo, se ci dovesse essere un procedimento piu' veloce o vi e' qualcosa di sbagliato scrivete pure.
Stabilire se la seguente funzione $f(x)={(((\cos (root(3)(x)))^{1/x}\cdot e^{\cos x}); x!=0), (1; x=0):}$ e' discontinua e stabilire qual e' il tipo di discontinuita'
ho svolto cosi' l'esercizio:
faccio il limite per $x\rightarrow 0$ e sviluppo
$(\cos (root(3)(x)))^{1/x}\cdot e^{\cos x}= \exp((\ln(\cos root(3)(x)))/(x)) \cdot e^{\cos x}=\exp((\ln(1-(x^{3/2})/2+o(x^{3/2))))/(x))\cdot e^{\cos x}=$
$=\exp((-(x^{3/2})/2)/(x))\cdot e^{\cos x}=\exp(-x^{1/2}+\cos x)=e$
allora il $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=e$
concludo che la funzione presenta discontinuita' di eliminabile.
Ho detto eliminabile perche' di certo NON e' di seconda e neanche di prima specie, stando alla definizione di discontinuita' eliminabile, mi sembra la piu' adatta, ma non so ho dubbi, non mi convince.
Grazie in anticipo.
Stabilire se la seguente funzione $f(x)={(((\cos (root(3)(x)))^{1/x}\cdot e^{\cos x}); x!=0), (1; x=0):}$ e' discontinua e stabilire qual e' il tipo di discontinuita'
ho svolto cosi' l'esercizio:
faccio il limite per $x\rightarrow 0$ e sviluppo
$(\cos (root(3)(x)))^{1/x}\cdot e^{\cos x}= \exp((\ln(\cos root(3)(x)))/(x)) \cdot e^{\cos x}=\exp((\ln(1-(x^{3/2})/2+o(x^{3/2))))/(x))\cdot e^{\cos x}=$
$=\exp((-(x^{3/2})/2)/(x))\cdot e^{\cos x}=\exp(-x^{1/2}+\cos x)=e$
allora il $\lim_{x\rightarrow0}f(x)=e$
concludo che la funzione presenta discontinuita' di eliminabile.
Ho detto eliminabile perche' di certo NON e' di seconda e neanche di prima specie, stando alla definizione di discontinuita' eliminabile, mi sembra la piu' adatta, ma non so ho dubbi, non mi convince.
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao. Posso sbagliarmi, ma mi sembra che ci sia un errore nei tuoi calcoli: quando sviluppi in serie il coseno, il termine che
dovrebbe essere [tex]\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}[/tex] lo fai diventare $x^("3/2")$, il che cambia drasticamente le cose: ad esponente di $e$ rimane
(tralasciando il $cos x$ che in ogni caso tende a $1$) questo: $-1/(2x^("1/3"))$ che nel limite in questione tende rispettivamente a $- oo$
per $x\rightarrow 0^+$ ed a $+ oo$ per $x\rightarrow 0^-$; quindi se non mi sto sbagliando il limite destro è zero e quello sinistro è $+oo$, e la
discontinuità allora è di seconda specie.
dovrebbe essere [tex]\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}[/tex] lo fai diventare $x^("3/2")$, il che cambia drasticamente le cose: ad esponente di $e$ rimane
(tralasciando il $cos x$ che in ogni caso tende a $1$) questo: $-1/(2x^("1/3"))$ che nel limite in questione tende rispettivamente a $- oo$
per $x\rightarrow 0^+$ ed a $+ oo$ per $x\rightarrow 0^-$; quindi se non mi sto sbagliando il limite destro è zero e quello sinistro è $+oo$, e la
discontinuità allora è di seconda specie.
"Palliit":
Ciao. Posso sbagliarmi, ma mi sembra che ci sia un errore nei tuoi calcoli: quando sviluppi in serie il coseno, il termine che
dovrebbe essere [tex]\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}[/tex] lo fai diventare $x^("3/2")$, il che cambia drasticamente le cose: ad esponente di $e$ rimane
(tralasciando il $cos x$ che in ogni caso tende a $1$) questo: $-1/(2x^("1/3"))$ che nel limite in questione tende rispettivamente a $- oo$
per $x\rightarrow 0^+$ ed a $+ oo$ per $x\rightarrow 0^-$; quindi se non mi sto sbagliando il limite destro è zero e quello sinistro è $+oo$, e la
discontinuità allora è di seconda specie.
ecco perchè c'era qualcosa che non mi tornava!.. Sì hai ragione su tutto
.. madonna..che errori che faccio ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
comunque grazie!..
prego! (ma se avessi ragione su tutto, diamine... )
ciao
ciao
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