Funzione differenziabile ma non continua in alcun intorno

[ProPatria]

Sia $(x,y) in RR^2$.
Definisco $f:RR^2 to RR$:

$f(x,y)= {(y^2, y!=0), (0, y=0):}$

Il mio libro dice che questa funzione è "differenziabile nell'origine ma non continua in alcun intorno dell'origine".
A me sembra strano... Credo che ci sia un errore, anche perchè la funzione così definita è proprio come definire $f(x,y)=y^2$.
Dico bene?
Possibile che intendesse:
$f(x,y)= {(x^2, y!=0), (0, y=0):}$
?

[Lebesgue]

Sicuramente c'è qualche problema, in quanto differenziabile implica continua; dunque se $f$ non è continua nell'origine, sicuramente non può neanche essere differenziabile.
Quindi boh, bisognerebbe scrivere all'autore e chiedere cosa intendesse.

[ProPatria]

"Lebesgue":Sicuramente c'è qualche problema, in quanto differenziabile implica continua; dunque se $f$ non è continua nell'origine, sicuramente non può neanche essere differenziabile.
Quindi boh, bisognerebbe scrivere all'autore e chiedere cosa intendesse.

Quello che ho inteso io è che come dici tu la funzione deve ovviamente essere continua nell'origine.
Il libro dice solo che appunto non è continua in alcun intorno dell'origine, quindi prendendo una palla qualsiasi con centro nell'origine ci sarà sempre un punto della palla in cui la funzione non è continua.

Ora mi chiedo:
$ f(x,y)= {(x^2, y!=0), (0, y=0):} $

è differenziabile nell'origine?
Perchè se così fosse il problema è risolto...
sarebbe semplicemente un errore di battitura dato che una tale funzione non ha intorni che sono tutti continui nell'origine.

[Lebesgue]

Prova ad utilizzare la definizione:

$f(x,y)$ è differenziabile in $(0,0)$ se

$\lim_((h,k) \to (0,0)) (f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k)/(\sqrt(h^2+k^2)) = 0$.

Essendo $f$ continua nell'origine, si ha che $f(0,0) = 0$.
Calcoliamoci ora le derivate parziali, usando le definizioni:

$f_x(0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h = \lim_(h\to 0) 0/h = 0$,
dato che $f(h,0) = 0$ poiché la seconda coordinata è $y = 0$.

$f_y(0,0) = \lim_(k \to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k = \lim_(k \to 0) 0/k = 0$,
dato che $f(0,k) = 0^2$.

Quindi entrambe le derivate parziali sono nulle nell'origine.
Dobbiamo allora calcolare il:
$ \lim_((h,k) \to (0,0)) (f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k)/(\sqrt(h^2+k^2)) = \lim_((h,k)\to (0,0)) h^2 / \sqrt(h^2+k^2)$.
Tale limite è zero, in quanto si ha che:

$0 <= h^2 / \sqrt(h^2+k^2) <= h^2/\sqrt(h^2) = h^2 / |h|$
Ed il membro di destra tende a zero per $(h,k) \to (0,0)$.

[ProPatria]

"Lebesgue":Prova ad utilizzare la definizione:

$f(x,y)$ è differenziabile in $(0,0)$ se

$\lim_((h,k) \to (0,0)) (f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k)/(\sqrt(h^2+k^2)) = 0$.

Essendo $f$ continua nell'origine, si ha che $f(0,0) = 0$.
Calcoliamoci ora le derivate parziali, usando le definizioni:

$f_x(0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h = \lim_(h\to 0) 0/h = 0$,
dato che $f(h,0) = 0$ poiché la seconda coordinata è $y = 0$.

$f_y(0,0) = \lim_(k \to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k = \lim_(k \to 0) 0/k = 0$,
dato che $f(0,k) = 0^2$.

Quindi entrambe le derivate parziali sono nulle nell'origine.
Dobbiamo allora calcolare il:
$ \lim_((h,k) \to (0,0)) (f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k)/(\sqrt(h^2+k^2)) = \lim_((h,k)\to (0,0)) h^2 / \sqrt(h^2+k^2)$.
Tale limite è zero, in quanto si ha che:

$0 <= h^2 / \sqrt(h^2+k^2) <= h^2/\sqrt(h^2) = h^2 / |h|$
Ed il membro di destra tende a zero per $(h,k) \to (0,0)$.

e quindi f è differenziabile nell'origine ma non continua nei suoi intorni!
Grazie mille

[Lebesgue]

Esatto: se prendiamo un punto del tipo $(x_0,k)$ con $x_0 \ne 0$, si ha che $f(x_0,k) = x_0^2 \ne 0$, mentre $\lim_(k \to 0) f(x_0,k) = 0$, da cui la discontinuità in tutti i punti "vicini" all'origine.

Invece la funzione è continua nei punti $(0,k)$ (cioè i punti sull'asse $y$), come si vede calcolando il limite