Funzione differenziabile
ciao ragazzi,qualcuno mi sa spiegare bene quando una funzione è differenziabile??
Risposte
grazie steven avevo gia guardato speravo in una spiegazione più semplice..... se qualcuno la conosce e me la sa dare lo ringrazio!
No roby87, non esiste una spiegazione più semplice.
Per il semplice fatto che quella è la definizione di funzione differenziabile, e quella rimane.
In realtà non c'è nulla da spiegare, ma solo da prendere atto che una funzione con quella particolare proprietà assume l'attributo "differenziabile".
Per il semplice fatto che quella è la definizione di funzione differenziabile, e quella rimane.
In realtà non c'è nulla da spiegare, ma solo da prendere atto che una funzione con quella particolare proprietà assume l'attributo "differenziabile".
Come dice Steven la definizione quella è e quella rimane ; un aiuto intuitivo significativo è la esistenza di un piano ( o iperpiano se siamo in dimensione $n>= 3$))tangente al grafico se la funzione è differenziabile in un certo punto.
La condizione di differenziabilità ( $ n>=2 $) è molto stringente, più della derivabilità e della continuità.
Vale la seguente catena di implicazioni :
$f in C^1 (A) rarr f $differenziabile in $A$ ( cioè $f $ha iperpiano tangente ) $rarr f $continua in $A$ et$ f$ derivabile in$ A$ et$ f$ ha derivate direzionali et vale la formula del gradiente.
Attenzione che le implicazioni sono solo 2 , le prime due.
INVECE:
$ f $ continua, derivabile, dotata di tutte le derivate direzionali -//-/-> ( NON IMPLICA ) $f $ differenziabile.
$ f$ derivabile , dotata di tutte le derivate direzionali -//-/-> (NON IMPLICA) $f $ continua .
Esempio : $f(x,y)= (xy)/(x^2+y^2)$ se $(x,y) ne (0,0) $
$f(x,y) = 0$ se $ (x,y)=0 $
La funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati , perciò calcolando le derivate parziali di $f $ nell'origine mediante la definizione si vede che esse esistono e sono nulle.
Anche $f $ è nulla nell'origine . Però la funzione non è differenziabile nell'origine ( non esiste piano tangente ) e non è neppure continua.
Ecco il grafico
La condizione di differenziabilità ( $ n>=2 $) è molto stringente, più della derivabilità e della continuità.
Vale la seguente catena di implicazioni :
$f in C^1 (A) rarr f $differenziabile in $A$ ( cioè $f $ha iperpiano tangente ) $rarr f $continua in $A$ et$ f$ derivabile in$ A$ et$ f$ ha derivate direzionali et vale la formula del gradiente.
Attenzione che le implicazioni sono solo 2 , le prime due.
INVECE:
$ f $ continua, derivabile, dotata di tutte le derivate direzionali -//-/-> ( NON IMPLICA ) $f $ differenziabile.
$ f$ derivabile , dotata di tutte le derivate direzionali -//-/-> (NON IMPLICA) $f $ continua .
Esempio : $f(x,y)= (xy)/(x^2+y^2)$ se $(x,y) ne (0,0) $
$f(x,y) = 0$ se $ (x,y)=0 $
La funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati , perciò calcolando le derivate parziali di $f $ nell'origine mediante la definizione si vede che esse esistono e sono nulle.
Anche $f $ è nulla nell'origine . Però la funzione non è differenziabile nell'origine ( non esiste piano tangente ) e non è neppure continua.
Ecco il grafico
Camillo sinceramente era piu chiaro wikipedia 
sei un professore?cmq sfogliando dei libri dice che f e differenziabile se ammette gradiente e se vale la formula di taylor del primo ordine stesse proprietà per funzioni a più variabili mi confermi??
sei un professore?cmq sfogliando dei libri dice che f e differenziabile se ammette gradiente e se vale la formula di taylor del primo ordine stesse proprietà per funzioni a più variabili mi confermi??
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