FUNZIONE DIFFERENZIABILE

[monimag]

Vorrei chiedere se qualcuno è disposto ad aiutarmi in questo esercizio..
Stabilire l'insieme ove la funzione f(x,y)=(xy^2)^1/3 è differenziabile.
Ho trovato che per x!=0 e y!=0 la funzione è differenziabile (perché le derivate parziali sono continue).
Ma per x o y uguali a 0?



grazie

[gugo82]

@ monimag: Un consiglio: elimina il tutto-maiuscolo dal titolo (se ti chiedi perché, leggi qui).

Per il resto, prendi un punto a caso su un asse coordinato, e.g. \((x_0,0)\) sulle ascisse; per definizione, affinché \(f\) sia differenzialbile in \((x_0,0)\) devono esistere due numerilli \(a,b\) tali che:
\[
\lim_{(x,y)\to (x_0,0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,0)-a\ (x-x_0)-b\ y}{\sqrt{(x-x_0)^2+y^2}} =0
\]
e si dimostra facilmente che:
\[
\begin{split}
a &= \frac{\partial f}{\partial x} (x_0,0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x,0)-f(x_0,0)}{x-x_0}\\
b &= \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{f(x_0,y)-f(x_0,y)}{y}\; .
\end{split}
\]
Quindi se una delle due derivate parziali non esiste in \((x_0,0)\), la funzione non può essere differenziabile in tal punto.
Lo stesso vale se prendi un punto qualsiasi \((0,y_0)\) dell'asse delle ordinate.

Hai provato a calcolare le derivate parziali nei punti degli assi?