Funzione di (x,y) come funzione f(z).....

[antennaboy]

Salve a tutti,

mi viene l'istinto di vedere una funzione bidimensionale f(x,y) dai reali R2 a R come una funzione dai complessi f(z)C ad R....
visto che z e' in corrispodenza biunivoca con la coppia (x,y)....

So che questo non e' sempre possibile....
Infatti una funzione f(x,y) potrebbe essere scritta come f(z,z*)

Ci sono poi problemi di analiticita'.....

Quando e' possibile interpretare f(x,y) come f(z)?

grazie
antennaboy

[gugo82]

"antennaboy":Quando e' possibile interpretare f(x,y) come f(z)?

Dipende da cosa intendi con [tex]f(z)[/tex]... Ad esempio, [tex]\Re z[/tex] è una funzione di [tex]z[/tex] nel senso che intendi tu?

Il problema non è tanto interpretare [tex]f(x,y)[/tex] come [tex]f(z)[/tex] (che si può sempre fare, se si pone [tex]x=\Re z, y=\Im z[/tex]) ma decidere se la tua interpretazione deve "salvare" qualche proprietà o addirittura implicarne di nuove.

[antennaboy]

Mi spiego meglio: i miei dubbi derivano dai risultati del teorema di Green.

Teorema di Green: l'integrale di linea chiuso di una funzione reale f(x,y), single-valued, di due variabili reali (x,y), su un circuito chiuso che non racchiude un'aread che contiene singolarita' della funzione e' zero.
L'idea e' la stessa che si ha nell' analisi complessa per l'integrale chiuso di una funzione f(z) che e' olomorfa.....
Dove e' a connessione tra i due risultati?
L'integrale chiuso della funzione reale f(x,y) e forse qualche sezione del' integrale di linea di una funzione specifica su qualche piano o direzione?


grazie
antennaboy