Funzione di $\vec v$ e prodotto scalare.

[turtle87crociato]

Stavo affrontando una delle dimostrazioni del teorema dell'energia cinetica disponibili nel mare della scienza

A un certo punto mi è venuta tra le mani la funzione $f$ di $\vec v$ tale che:

$f (\vec v) = 1/2 \vecv \vecv$

Perchè tale funzione diventa:

$f (\vec v) = 1/2 v^2$ ? Perchè in sostanza invece di $\vec v \vec v$ si considera il loro prodotto scalare?

Forse perchè, sciogliendo la forma compatta (e quindi analizzando la funzione sui singoli assi):

$f (\vec v) = 1/2 (v_1xv_2x + v_1yv_2y + v_1zv_2z)$, con la parte tra parentesi che è proprio il prodotto scalare tra i due vettori(che poi sono lo stesso vettore)?

P.S.- E' più matematica che fisica, perciò l'ho messa qui.

[dissonance]

Io direi così: teniamo presente che se $vec(v)$ è un vettore, con $v$ indicheremo la sua lunghezza (ovvero quella che in algebra lineare forse hai visto indicata con $||vec(v)||$). Per definizione, $v=||vec(v)||=sqrt(vec(v)*vec(v))$, dove $*$ indica il prodotto scalare. La cosa è ben definita perché $vec(v)*vec(v)>=0$, con l'uguaglianza se e solo se $vec(v)=vec(0)$. (Questo è quello a cui ci si riferisce in algebra lineare quando si parla di "prodotto scalare definito positivo").

Quindi, dal fatto che $v=sqrt(vec(v)*vec(v))$ segue che $v^2=vec(v)*vec(v)$.