Funzione di salti, teorema di scomposizione di Lebesgue?

[Moralizzatore]

Salve a tutti, sto studiando il Teorema di decomposizione di Lebesgue, il quale afferma questo:

Teorema di Lebesgue (scomposizione): La scomposizione di Lebesgue di una funzione a variazione limitata è la rappresentazione canonica di una funzione continua da destra a variazione limitata $f: I\to\mathbb{R}$ (con $I$ un intervallo) nella forma $f = f_{AC} + f_{J} + f_{S}$ dove:

$\cdot$ $f_{AC}$ è una funzione assolutamente continua;
$\cdot$ $f_J$ è una jump function (funzione di salti);
$\cdot$ $f_S$ è una funzione singolare

Nella pratica a parte la $f_{AC}$ non ho la benché minima idea di cosa siano le parti in cui si decompone la funzione. Il mio libro non ne parla e i miei appunti parlano solo della "funzione di salti", e a riguardo viene detto questo:

Jump function: Supponiamo essere assegnati $n$ punti dell'asse reale \(t_1, t_2, \dots, t_n\) e i corrispondenti valori di salto \(h_1, h_2, \dots h_n\), allora la jump function che vi corrisponde è

\(F_j(t) = \sum\limits_{j\;|\; t_j \leq t } h_j\)

E inoltre se ha come massimo assoluto il valore $1$, questa è anche una misura probabilistica.

E se ne parla nel particolare come esempio di misura di Lebesgue-Stieltjes, ma non accenna a come si definisce la misura
$\mu_{F_j}( (a,b] )$ indotta da $F_j$ (immagino nel modo usuale come $\mu_{F_j}( (a,b] ) = F_j(b) - F_j(a)$ ?)

Aiuto, sono bloccato su questo da un giorno

[dissonance]

La \(F_j\) è una funzione costante a tratti e che salta precisamente nel punti \(t_j\) con ampiezza \(h_j\). Oggi queste cose si studiano direttamente nel contesto della teoria della misura a quanto ne so. Comunque, si, la misura indotta da una funzione si definisce nella maniera che hai scritto tu.

[Moralizzatore]

Grazie ♥