Funzione di piu variabili iniettiva..
ciao ho una domanda. se ho una funzione di due variabili a valori in due variabili che so essere localmente invertibile in tutti i punti tranne alcuni (tipo $(x,y)$ con $x!=y$) come faccio a dire se è iniettiva o meno? cosa devo controllare?
e se fosse iniettiva, allora cosa potrei dire della sua immagine? scusate ma negli esercizi spesso mi capita questa domanda e nn capisco su che ragionamenti o condizioni devo basarmi per rispondere. grazie
e se fosse iniettiva, allora cosa potrei dire della sua immagine? scusate ma negli esercizi spesso mi capita questa domanda e nn capisco su che ragionamenti o condizioni devo basarmi per rispondere. grazie
Risposte
In più variabili c'è poco da fare; per verificare se una funzione $f=f(x, y)$ è ingettiva bisogna verificare la definizione, ovvero verificare se
$f(x_0, y_0)=f(x_1, y_1) \iff {(x_0=x_1), (y_0=y_1):}$ .
Vedi un esempio qui.
$f(x_0, y_0)=f(x_1, y_1) \iff {(x_0=x_1), (y_0=y_1):}$ .
Vedi un esempio qui.
In realtà esistono teoremi detti di inversione globale, che permettono di dire quando una funzione localmente invertibile attorno ad ogni punto è anche globalmente iniettiva. Tali risultati esulano però dall'analisi classicamente insegnata nei corsi di analisi di base (si va verso l'analisi non lineare), quindi negli esercizi che hai quasi certamente ci sono altre vie.
la mia domanda sorge perchè in tanti esercizi dopo aver detto se è localmente invertibile mi viene richiesto (in un unico punto) determinare l'immagine e stabilire se è globalmente invertibile con inversa C1, oppure determinare l'immagine e dire se è iniettiva,determinare l'immagine di rette e l'immagine della funzione e dire se è o meno iniettiva.
E vabbé, ma la risposta resta quella che ti abbiamo già dato. Consulta il post che ti ho linkato per un esercizio svolto di questo genere, cosa ti dobbiamo dire di più?
Gli strumenti teorici per risolvere questi esercizi credo tu li abbia tutti: si tratta di avere ben chiare le definizioni di funzione, di funzione iniettiva e localmente iniettiva, e saperle applicare; l'unico teorema sostanzioso da usare è quello della funzione inversa che -mi pare di capire- tu conosci.
Fine. Ci sono degli strumenti più avanzati a cui accennava Luca ma sicuramente non è previsto che tu ne faccia uso.
Gli strumenti teorici per risolvere questi esercizi credo tu li abbia tutti: si tratta di avere ben chiare le definizioni di funzione, di funzione iniettiva e localmente iniettiva, e saperle applicare; l'unico teorema sostanzioso da usare è quello della funzione inversa che -mi pare di capire- tu conosci.
Fine. Ci sono degli strumenti più avanzati a cui accennava Luca ma sicuramente non è previsto che tu ne faccia uso.
no no hai ragione non c'è altro da aggiungere, in effetti era una constatazione.
ma adesso stavo pensando.. se ho una funzione localmente invertibile allora li nei punti dove è loc. invertibile è iniettiva, non basta controllare l'iniettività nei punti in cui non è localmente invertibile?
ma adesso stavo pensando.. se ho una funzione localmente invertibile allora li nei punti dove è loc. invertibile è iniettiva, non basta controllare l'iniettività nei punti in cui non è localmente invertibile?
C'è questo "simpatico" teorema che in alcuni casi permette di studiare l'iniettività globale di una funzione....ciao!
"elijsa":
ma adesso stavo pensando.. se ho una funzione localmente invertibile allora li nei punti dove è loc. invertibile è iniettiva, non basta controllare l'iniettività nei punti in cui non è localmente invertibile?
Attenzione!!! una funzione può essere anche localmente invertibile in ogni suo punto, ma con questo NON essere comunque globalmente invertibile!
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