Funzione di Lyapunov
Ciao a tutti. Per quanto riguarda la funzione di Lyapunov.
Dato $ x' = f(x,y) , y' = g(x,y) $
sia (x0, y0) un punto critico. Mi è abbastanza chiaro che cosa sia una funzione di Lyapunov. Quello che non capisco, nel caso sia V'(x,y)<=0.
Quando si puo dire che (x0,y0) è asintotticamente stabile?. Il fatto che V'(x,y)= 0 solo sugli assi è sufficente a garantire l' asintottica stabilità? Oppure bisogna fare dei complicati ragionamenti sui " sottoinsiemi invarianti"?
Per chiarire meglio. Se io trovo una funzione di Lyapunov,tale che V(x,y) ->inf se x^2 + y^2 ->inf la cui derivata risulta sempre < 0 e che è =0 solo se x=0 o y=0, posso stare tranquilo?
Devo dare un esame, qualcuno puo aiutarmi?
Dato $ x' = f(x,y) , y' = g(x,y) $
sia (x0, y0) un punto critico. Mi è abbastanza chiaro che cosa sia una funzione di Lyapunov. Quello che non capisco, nel caso sia V'(x,y)<=0.
Quando si puo dire che (x0,y0) è asintotticamente stabile?. Il fatto che V'(x,y)= 0 solo sugli assi è sufficente a garantire l' asintottica stabilità? Oppure bisogna fare dei complicati ragionamenti sui " sottoinsiemi invarianti"?
Per chiarire meglio. Se io trovo una funzione di Lyapunov,tale che V(x,y) ->inf se x^2 + y^2 ->inf la cui derivata risulta sempre < 0 e che è =0 solo se x=0 o y=0, posso stare tranquilo?
Devo dare un esame, qualcuno puo aiutarmi?
Risposte
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Si dice asintoticamente, con una sola "t" (come asintoto, d'altra parte).
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Si dice asintoticamente, con una sola "t" (come asintoto, d'altra parte).
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Grazie gugo... ma niente altro da dire ?
Non so se nel caso da te riportato si possa concludere che l'origine è asintoticamente stabile (in generale penso di no).
E' sicuramente vero se l'unico sottoinsieme invariante di $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \dot{V}(x,y) = 0\}$ è l'origine.
E' sicuramente vero se l'unico sottoinsieme invariante di $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \dot{V}(x,y) = 0\}$ è l'origine.
Ok, ma quando parli di sottoinsieme invariante, ti riferisci a f(x,y) e g(x,y). Al di la della definizione, che cosa devo controllare?
Se per esempio, ho V'(x,y) = 0 se x=0. Devo controllare che, ponendo x=0, le mie f(x,y) e g(x,y) si riducono a funzioni che sono nulle solo in (0,0)??
Stessa cosa se V'(x,y) = 0 in y=0 ? E' cosi?
Grazie
Se per esempio, ho V'(x,y) = 0 se x=0. Devo controllare che, ponendo x=0, le mie f(x,y) e g(x,y) si riducono a funzioni che sono nulle solo in (0,0)??
Stessa cosa se V'(x,y) = 0 in y=0 ? E' cosi?
Grazie
Supponiamo, per fissare le idee, che $\dot{V}$ si annulli solo sull'asse $x$.
Se $g(x,0) \ne 0$ per ogni $x\ne 0$, allora l'orbita passante per $(x,0)$ attraversa trasversalmente l'asse $x$; di conseguenza l'origine è l'unico sottoinsieme invariante dell'asse $x$ (naturalmente stiamo supponendo che $f(0,0) = g(0,0) = 0$).
Analogamente puoi ragionare se $\dot{V}$ si annulla sull'asse $y$ o su entrambi gli assi.
Se $g(x,0) \ne 0$ per ogni $x\ne 0$, allora l'orbita passante per $(x,0)$ attraversa trasversalmente l'asse $x$; di conseguenza l'origine è l'unico sottoinsieme invariante dell'asse $x$ (naturalmente stiamo supponendo che $f(0,0) = g(0,0) = 0$).
Analogamente puoi ragionare se $\dot{V}$ si annulla sull'asse $y$ o su entrambi gli assi.
Intuitivamente mi sembra di capire. Però, nel tuo esempio, in cui V' si annulla in $y=0$ tu consideri $g(x,0)$. Come mai non hai considerato anche $f(x,0)$? E se nel tuo esempio $f(x,0)$ non avesse solo l'origine come sottoinsieme invariante cosa accaderebbe?
Sull'asse $x$ (fuori dall'origine) ti basta controllare che $g\ne 0$, perché questo ti garantisce che l'asse $x$ venga attraversato trasversalmente dall'orbita (basta fare un disegno).
La componente $f$ sarà importante se $\dot{V}$ si annulla sull'asse $y$, per controllare che anche lì le orbite attraversino trasversalmente l'asse.
La componente $f$ sarà importante se $\dot{V}$ si annulla sull'asse $y$, per controllare che anche lì le orbite attraversino trasversalmente l'asse.
Gia, perchè la mia g(x,y) mi dà la direzione dell' ordinata dalla quale vedo in che modo il campo taglia l'asse delle x. Devo raccogliere meglio le idee ma penso di aver capito.
Grazie
Grazie
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