Funzione di lipschitz
ciao a tutti, vorrei chiedervi come si può risolvere questa domanda, in quanto con le informazioni e nozioni in mio possesso, non sono capace di risolverla:
sia (X,d) uno spazio metrico e sia f: X-->X una funzione.
1- se f è una contrazione ed è invertibile, allora l'inversa f^-1 è una contrazione
2- se f è di lipschit, allora f composto f è lipschitz.
dire quale affermazione è vera/falsa.
allora, io so che la contrazione è un caso particolare di lipschitz e tralascio la definizione di contrazione e di funzione di lipschitz. dunque suppongo che l'inversa si comunque una contrazione.
l'unico dubbio è che non mi so costruire a priori una funzione che sia contrazione...quindi non sono sicuro di quello affermato.
per la seconda domanda invece?
chiedo scusa se le mie domande sono banali.
sia (X,d) uno spazio metrico e sia f: X-->X una funzione.
1- se f è una contrazione ed è invertibile, allora l'inversa f^-1 è una contrazione
2- se f è di lipschit, allora f composto f è lipschitz.
dire quale affermazione è vera/falsa.
allora, io so che la contrazione è un caso particolare di lipschitz e tralascio la definizione di contrazione e di funzione di lipschitz. dunque suppongo che l'inversa si comunque una contrazione.
l'unico dubbio è che non mi so costruire a priori una funzione che sia contrazione...quindi non sono sicuro di quello affermato.
per la seconda domanda invece?
chiedo scusa se le mie domande sono banali.
Risposte
E no, stai procedendo male. Devi chiederti se sia possibile che la \(1\) sia vera. Tu che ne pensi? Immagina \(X=\mathbb{R}^2\) e visualizza una contrazione come una cosa che "restringe" lo spazio. Per esempio, pensa a
\[f(x, y)=\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right).\]
E' una contrazione questa, secondo te? Immagina visivamente la sua azione: essa rimpicciolisce tutto di fattore \(1/2\). Ragiona bene su questo esempio e arriverai alla soluzione del punto 1.
\[f(x, y)=\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right).\]
E' una contrazione questa, secondo te? Immagina visivamente la sua azione: essa rimpicciolisce tutto di fattore \(1/2\). Ragiona bene su questo esempio e arriverai alla soluzione del punto 1.
Per la seconda domanda, prova ad utilizzare la definizione di funzione lipschitziana per stimare \(|f(f(x))-f(f(y))|\).
chiedo scusa per il ritardo ma, ho ripreso in mano un po' il tutto, ricominciato da esercizi più semplici e ora rieccomi qui:
dunque, ragionando su quello che mi avete detto:
punto 1- $ f(x,y) = (x/2;y/2) $
applicando la definizione di contrazione dunque: avendo una funzione in $ R^2 $ , fissato $ x=x0 $ ,
$ || ( f(x0;y1) - f(x0;y2) ) || = || ( ((x0)/2; (Y1)/2 ) - ((x0)/2; (Y2)/2 ))|| <= 1/2 (x;y)= 1/2 ||y1 -y2 || $ , giusto??
quindi la funzione inversa non soddisfa più la definizione di contrazione.
per il secondo punto: $ f(x)= senx $ è lipschitz, e anche $ f(f(x))= sen(senx) $ è lipschitz.
il risultato del tema d'esame è corretto, ossia, la numero 1 è falsa e la numero due è vera.
se però ho sbagliato il ragionamento ditemi pure.
grazie mille
dunque, ragionando su quello che mi avete detto:
punto 1- $ f(x,y) = (x/2;y/2) $
applicando la definizione di contrazione dunque: avendo una funzione in $ R^2 $ , fissato $ x=x0 $ ,
$ || ( f(x0;y1) - f(x0;y2) ) || = || ( ((x0)/2; (Y1)/2 ) - ((x0)/2; (Y2)/2 ))|| <= 1/2 (x;y)= 1/2 ||y1 -y2 || $ , giusto??
quindi la funzione inversa non soddisfa più la definizione di contrazione.
per il secondo punto: $ f(x)= senx $ è lipschitz, e anche $ f(f(x))= sen(senx) $ è lipschitz.
il risultato del tema d'esame è corretto, ossia, la numero 1 è falsa e la numero due è vera.
se però ho sbagliato il ragionamento ditemi pure.
grazie mille
Enzo, guarda, è tutto sbagliato. Sbagli a un livello fondamentale, ovvero nell'interpretazione delle domande.
1) Devi dimostrare che la proposizione scritta è falsa, ovvero devi trovare un controesempio: nello specifico ti occorre una funzione $f$ con queste proprietà:
[list=1][*:2bxxshqi]$f$ è una contrazione; [/*:m:2bxxshqi]
[*:2bxxshqi]$f$ è invertibile; [/*:m:2bxxshqi]
[*:2bxxshqi]$f^{-1}$ non è una contrazione. [/*:m:2bxxshqi][/list:o:2bxxshqi]
Ti abbiamo già fornito un suggerimento, dandoti una funzione $f$. Ora verifica i tre punti di sopra, e fallo nell'ordine: prima verifica il punto 1, poi il punto 2, poi il punto 3.
Dopo passeremo all'altra domanda.
1) Devi dimostrare che la proposizione scritta è falsa, ovvero devi trovare un controesempio: nello specifico ti occorre una funzione $f$ con queste proprietà:
[list=1][*:2bxxshqi]$f$ è una contrazione; [/*:m:2bxxshqi]
[*:2bxxshqi]$f$ è invertibile; [/*:m:2bxxshqi]
[*:2bxxshqi]$f^{-1}$ non è una contrazione. [/*:m:2bxxshqi][/list:o:2bxxshqi]
Ti abbiamo già fornito un suggerimento, dandoti una funzione $f$. Ora verifica i tre punti di sopra, e fallo nell'ordine: prima verifica il punto 1, poi il punto 2, poi il punto 3.
Dopo passeremo all'altra domanda.
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