Funzione di due variabili limitata

[Inside_96]

Ciao a tutti.

Devo stabilire se la funzione
[tex]\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\int_{0}^{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{|1-\ln t|}{\ln^2 t}t^{-\frac{1}{2}}dt[/tex]
è limitata nel suo insieme di definizione.

Ho osservato che l'integrale che compare è improprio per [tex]t=0[/tex] e [tex]t=1[/tex]. Ma come posso concludere? Devo studiare l'integrale?

Vi ringrazio in anticipo.

[Inside_96]

Qualche idea?

[Giuly191]

Posto che quella funzione dipende in realtà da una variabile sola, diciamo $ r = \sqrt{ x^2 + y^2 }$, gli unici punti in cui potrebbe divergere sono $r=0$, $r=1$ e $r=\infty$, in quanto nel primo caso hai un $1/r$ davanti, mentre negli altri 2 casi l'integrale diventa improprio e bisogna vedere se è finito.
In $r=0$ e $r=\infty$ penso che il modo più veloce sia applicare il teorema di de l'Hopital al rapporto
$$
\lim_r \frac{ \int_0^r \frac{ | 1 - \log t | }{ \log^2 t } t^{-1/2} d t }{ r }
$$
e la conclusione dovrebbe essere che in $lim_{r->0} f(r) = \infty$, mentre $\lim_{r->\infty} f(r) = 0$. Quindi già qua, se non ho sbagliato, vedi che non è limitata in $r=0$.
Per quanto riguarda $r=1$ di nuovo non è limitata perchè
$$
f(1) = \int_0^1 \frac{ | 1 - \log t | }{ \log^2 t } t^{-1/2} d t = \infty
$$
siccome per $t \to 1$ l'integranda va come
$$
\frac{ | 1 - \log t | }{ \log^2 t } t^{-1/2} \sim 1/(t-1)^2
$$
e quindi non è integrabile.