Funzione di due variabili
Ciao a tutti! Volevo porre alla VS attenzione un esercizio che ultimamente ho cercato di risolvere.
L'esercizio riguarda una funzione in due variabili.
La funzione é:
$f(x,y)= |x|*(y^2-4)$
Il primo quesito dell'esercizio richiede la determinazione degli estremi relativi.
Ho diviso la funzione in due parti, per via del valore assoluto. Dopo ho calcolato le derivate parziali, rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Ho trovato quindi il gradiente, lo annullo per trovare i punti stazionari interni e trovo due punti.
$A(0;2) B(0;-2)$
Vedendo che in questi due punti la funzione si annulla, procedo con un'analisi locale, cioè considero dei punti appartenenti agli intorni di questi due punti per vedere come si comporta la funzione in questi due punti stazionari. Trovo che la funzione assume vicino ai punti trovati sia segno positivo e sia segno negativo. Quindi questi due punti stazionari non sono punti di estremo relativo. Penso che finora il mio procedimento sia corretto.
Il secondo quesito, ed è il mio problema, è dire se la funzione è limitata determinando gli estremi assoluti.
A quanto ho capito, anche da certi esempi, dovrei considerare una restrizione della funzione, credo in questo caso alla retta $y=x$ e studiare il limite per $x \to \+infty$ e $x \to \-infty$ per verificare se è limitata superiormente ed inferiormente.
Però non ne sono sicuro.
Come procedere per determinare gli estremi assoluti??
L'esercizio riguarda una funzione in due variabili.
La funzione é:
$f(x,y)= |x|*(y^2-4)$
Il primo quesito dell'esercizio richiede la determinazione degli estremi relativi.
Ho diviso la funzione in due parti, per via del valore assoluto. Dopo ho calcolato le derivate parziali, rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Ho trovato quindi il gradiente, lo annullo per trovare i punti stazionari interni e trovo due punti.
$A(0;2) B(0;-2)$
Vedendo che in questi due punti la funzione si annulla, procedo con un'analisi locale, cioè considero dei punti appartenenti agli intorni di questi due punti per vedere come si comporta la funzione in questi due punti stazionari. Trovo che la funzione assume vicino ai punti trovati sia segno positivo e sia segno negativo. Quindi questi due punti stazionari non sono punti di estremo relativo. Penso che finora il mio procedimento sia corretto.
Il secondo quesito, ed è il mio problema, è dire se la funzione è limitata determinando gli estremi assoluti.
A quanto ho capito, anche da certi esempi, dovrei considerare una restrizione della funzione, credo in questo caso alla retta $y=x$ e studiare il limite per $x \to \+infty$ e $x \to \-infty$ per verificare se è limitata superiormente ed inferiormente.
Però non ne sono sicuro.
Come procedere per determinare gli estremi assoluti??
Risposte
"Albertus16":
Ciao a tutti! Volevo porre alla VS attenzione un esercizio che ultimamente ho cercato di risolvere.
L'esercizio riguarda una funzione in due variabili.
La funzione é:
$f(x,y)= |x|*(y^2-4)$
Il primo quesito dell'esercizio richiede la determinazione degli estremi relativi.
Ho diviso la funzione in due parti, per via del valore assoluto. Dopo ho calcolato le derivate parziali, rispetto a $x$ e rispetto a $y$. Ho trovato quindi il gradiente, lo annullo per trovare i punti stazionari interni e trovo due punti.
$A(0;2) B(0;-2)$
Vedendo che in questi due punti la funzione si annulla, procedo con un'analisi locale, cioè considero dei punti appartenenti agli intorni di questi due punti per vedere come si comporta la funzione in questi due punti stazionari. Trovo che la funzione assume vicino ai punti trovati sia segno positivo e sia segno negativo. Quindi questi due punti stazionari non sono punti di estremo relativo. Penso che finora il mio procedimento sia corretto.
Il secondo quesito, ed è il mio problema, è dire se la funzione è limitata determinando gli estremi assoluti.
A quanto ho capito, anche da certi esempi, dovrei considerare una restrizione della funzione, credo in questo caso alla retta $y=x$ e studiare il limite per $x \to \+infty$ e $x \to \-infty$ per verificare se è limitata superiormente ed inferiormente.
Però non ne sono sicuro.
Come procedere per determinare gli estremi assoluti??
(Esercizio Professore P.Z. Università di catania 16 maggio 2006)
Se non vado errato dovresti vedere anche il comportamento dei punti sulla retta $x=0$ che dovrebbero essere tutti di min relativo.
[OT]
Funzione di due variabili; che è una contrazione per intendere funzione reale di due variabili reali.
Ma alle superiori si insegna ancora la differenza tra i vari complementi in Italiano?
[/OT]
Funzione di due variabili; che è una contrazione per intendere funzione reale di due variabili reali.
Ma alle superiori si insegna ancora la differenza tra i vari complementi in Italiano?
[/OT]
"Albertus16":
Il secondo quesito, ed è il mio problema, è dire se la funzione è limitata determinando gli estremi assoluti.
A quanto ho capito, anche da certi esempi, dovrei considerare una restrizione della funzione, credo in questo caso alla retta $y=x$ e studiare il limite per $x \to \+infty$ e $x \to \-infty$ per verificare se è limitata superiormente ed inferiormente.
Però non ne sono sicuro.
Ti basta, ad esempio, verificare che la funzione lungo una restrizione tende a [tex]$+\infty$[/tex] (risp. [tex]$-\infty$[/tex]).
Volendo puoi anche ragionare su due restrizioni distinte.
"Albertus16":
Come procedere per determinare gli estremi assoluti??
Bè se la funzione non è limitata, può avere estremi assoluti?
Se restringi il dominio, allora si. (ammesso che le considerazioni,che hai fatto, sulla limitatezza della funzione siano esatte)
Grazie a tutti delle risposte.
Posto il grafico (con Derive 6).
La funzione è segnata con il colore blu.
@mazzy89. Si è un esercizio di P.Z. Dal grafico però vedo che i punti della retta $x=0$ non sono punti di minimo. Ho trovato i punti stazionari proprio su $x=0$ ma la funzione in quei punti non si comporta in modo tale che siano di estremo relativo. Ho verificato anche tramite la matrice Hessiana, trovando che non sono estremi relativi.
@Gugo82 Correggo il titolo. Non c'è bisogno di scrivere "Ma alle superiori si insegna ancora la differenza tra i vari complementi in Italiano?". Alle superiori me l'hanno insegnato, grazie. Gli errori qui non sono ammessi?
@Mathcrazy Ti ringrazio, certo la funzione deve essere per forza limitata. Quindi per provare la limitatezza della funzione determinando gli estremi assoluti, mi affido allo studio della funzione su una restrizione e studiarne il limite, più o meno quanto si faceva in Analisi 1.
In questo caso, se studio la funzione ristretta alla bisettrice $y=x$, si ha $f(x,x) = |x|*(x^2 -4)$, che per via del valore assoluto, tende in modo alternato a $\+infty$ e a $\-infty$. Quindi qui la funzione non è limitata, e non dovrebbero esserci estremi assoluti, giusto?
Un'altra domanda. Per verificare la limitatezza della funzione, l'unica via è studiare la funzione lungo una restrizione o c'è anche un altro metodo? (Forse la mia domanda è cretina, sto studiando questo argomento da poco)
Posto il grafico (con Derive 6).
La funzione è segnata con il colore blu.
@mazzy89. Si è un esercizio di P.Z. Dal grafico però vedo che i punti della retta $x=0$ non sono punti di minimo. Ho trovato i punti stazionari proprio su $x=0$ ma la funzione in quei punti non si comporta in modo tale che siano di estremo relativo. Ho verificato anche tramite la matrice Hessiana, trovando che non sono estremi relativi.
@Gugo82 Correggo il titolo. Non c'è bisogno di scrivere "Ma alle superiori si insegna ancora la differenza tra i vari complementi in Italiano?". Alle superiori me l'hanno insegnato, grazie. Gli errori qui non sono ammessi?
@Mathcrazy Ti ringrazio, certo la funzione deve essere per forza limitata. Quindi per provare la limitatezza della funzione determinando gli estremi assoluti, mi affido allo studio della funzione su una restrizione e studiarne il limite, più o meno quanto si faceva in Analisi 1.
In questo caso, se studio la funzione ristretta alla bisettrice $y=x$, si ha $f(x,x) = |x|*(x^2 -4)$, che per via del valore assoluto, tende in modo alternato a $\+infty$ e a $\-infty$. Quindi qui la funzione non è limitata, e non dovrebbero esserci estremi assoluti, giusto?
Un'altra domanda. Per verificare la limitatezza della funzione, l'unica via è studiare la funzione lungo una restrizione o c'è anche un altro metodo? (Forse la mia domanda è cretina, sto studiando questo argomento da poco)
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