Funzione di Dirichlet discontinuità

[feddy]

Testo:

Provare che la funzione $ f(x)={ ( 1 if x in QQ ),(0if x in RR\\ QQ ):} $ è discontinua in ogni punto.


Nel caso qualcuno volesse provarci, lascio in spoiler il tentativo di risoluzione.

SOL.:

Data la definizione di funzione continua:

Sia $f:mathbb(A) \subset RR rightarrow R$, $f$ si dice continua in $x_0$ $<=>$ $ forallepsilon>0 EE delta>0: |x-x_0||f(x)-f(x_0)|
la discontinuità si ottiene negando la precedente definizione, ovvero: $ EEepsilon>0 forall delta>0: |x-x_0|=epsilon $


Considero $a in QQ$ in un intorno $mathbb(I) (a,delta)$.

$|f(x)-1|>=epsilon$ e poichè in $mathbb(I) $ vi sono sia numeri razionali che numeri irrazionali: $1>=epsilon$. Prendendo $epsilon=1/2$ la discontinuità è soddisfatta.


Analogamente, prendo $b in RR\\QQ$.

Si ha ora $|f(x)-0|>=epsilon$, da cui come prima, $1>=epsilon$ e ancora per $epsilon=1/2$ si ha che è discontinua.


Può andare bene?

[Raptorista1]

È un esercizio che tu proponi al forum o ti serve una mano per risolverlo?

[feddy]

In effetti sono stato poco chiaro nell'esporre, pardon !

E' un esercizio che ho trovato sul mio testo e mi chiedevo se la mia risoluzione fosse corretta !

[Raptorista1]

Innanzitutto non mi piace come hai fatto la negazione della continuità, non mi sembra corretta.
Anche il resto non è molto comprensibile, la mia faccia fa come quella della tua immagine profilo quando leggo la tua dimostrazione.

[feddy]

Scusa ma non riesco proprio a capire dove sia errata la negazione della continuità.

Nella dimostrzione cerco un $epsilon >0$ tale per cui valga la negazione e sfrutto la densità di $Q \in RR$.

[Raptorista1]

Ci sono più livelli di errore in quello che hai scritto. Per prima cosa, la definizione di continuità "\(\varepsilon\)-\(\delta\)" si da per un punto, diciamo \(x_0\), non per un intervallo in un colpo solo, quindi la tua definizione dovrebbe avere un intorno \(I_\delta (x_0)\) dove invece hai messo \(\mathbb A\).
In secondo luogo, nella negazione scritta nel tuo intervento iniziale c'è scritto che "se \(x \in \mathbb A\) allora \(|f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon\)". Questo è sbagliato sia perché, di nuovo, dovrebbe essere una definizione puntuale e dovrebbe comparire un intorno \(I_\delta (x_0)\), sia perché quello che invece dovrebbe comparire è che esiste una \(x_\varepsilon \in I_\delta (x_0)\) che verifica la disuguaglianza, non che tutte le \(x\) verificano la disuguaglianza.

[feddy]

Ora mi è chiaro !

Non riesco a capire come possa aver messo un intervallo... inoltre, grazie per aver fatto luce sulla negazione logica della continuità !

La $x_{epsilon}$ esiste perchè in ogni intorno vi sono sia razionali che irrazionali, giusto ?

[Raptorista1]

Sono contento che ti sia chiaro adesso.
Sì, la definizione di continuità è negata in ogni punto perché ogni punto ha intervalli la cui immagine è \(\{0,1\}\). Poi puoi fare il giochetto degli \(\varepsilon\) per renderlo evidente, ma il concetto è questo.

[feddy]

Ho corretto la soluzione.

Grazie mille per il chiarimento !

[Fioravante Patrone1]

Trovare le differenze rispetto a quanto scritto nello spoiler...

Sia $f:mathbb(A) \subset RR rightarrow RR$.

$f$ si dice continua in $x_0$ se:
$ forallepsilon>0$ $EE delta>0: forall x$ $(|x-x_0||f(x)-f(x_0)|
la discontinuità si ottiene negando la precedente definizione, ovvero:

$ EEepsilon>0 forall delta>0: EEx in mathbb(A) :$ $ |x-x_0|=epsilon $

[feddy]

@Fioravante patrone

Nella definizione di continuità richiedi che $x in mathbb(A) $ , ma questo non è contro la definizione "puntuale" di continuità (come espresso prima da Raptorista?). Quello che intendo è: perché non un intorno di $x_0$?

Nella definizione di discontinuità, il quantificatore esistenziale $EE$ l'ho messo dopo la condizione $|x-x_0|

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[feddy]

@Fioravante Patrone forse forse ci sono !

Tu hai richiesto la continuità nell'intervallo $ mathbb(A)$ e quindi hai richiesto che $forallx(|x-x_0|

Riguardando la seconda invece, sono convinto di aver sbagliato nel mettere il quantificatore esistenziale.

[Shocker1]

"feddy":@Fioravante Patrone forse forse ci sono !

Tu hai richiesto la continuità nell'intervallo $ mathbb(A)$ e quindi hai richiesto che $forallx(|x-x_0|

Riguardando la seconda invece, sono convinto di aver sbagliato nel mettere il quantificatore esistenziale.

Dato che sto studiando anche io queste cose, mi intrometto sperando di non fare danni o rendermi ridicolo

1)Non è detto che $A$ sia un intervallo, per quanto ne sappiamo è solo un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$;
2)La definizione di Fioravante è puntuale, infatti ha scritto

"Fioravante Patrone":
$ f $ si dice continua in $ x_0 $ se:

e non "$f$ si dice continua in $\mathbb{A}$".

Detto ciò: il problema secondo me è che un intorno di un punto [nota]Per intorno di un punto $x$ s'intende(almeno secondo la definizione che mi è nota) un qualunque insieme $I \subset \mathbb{R}$ che contiene un aperto che contiene $x$ e per aperto s'intende un qualunque insieme $C$ tale che per ogni $x \in C$ esiste un $\epsilon$(dipendente da $x$) tale che l'insieme ${y \in C | |x - y| < \epsilon} \subset C$.[/nota] può contenere punti che non appartengono ad $\mathbb{A}$, per cui se proprio vuoi usarlo le $x$ le devi prendere in $\mathbb{A} nn \mathbb{I}$, altrimenti rischi di prendere punti in cui la funzione non è definita; ciò non accade con la definizione data da Fioravante perché le $x$ le prende direttamente in $A$ e la definizione è equivalente alla seguente(che penso sia quella che hai in mente tu): $f : A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è continua in $x_0 \in A$ se e solo se per ogni $\epsilon > 0 \exists \delta > 0$ tale che $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ ogni qualvolta $x \in A nn I(x_0, \delta)$, dove $I(x_0, \delta) = {y in \mathbb{R} | |x_0 - y| < \delta}$.

Ci ho visto bene?
Edit: e forse nella def di feddy manca il quantificatore $\forall x$ subito dopo $\exists \delta > 0:$

Ciao!

[feddy]

grazie per essere intervenuto !

Evidentemente non avevo letto bene la definizione di Fioravante.

Cerco di fare chiarezza (correggimi pure se dico baggianate )

Con la sua definizione di continuità prende le $x in \mathbb{A}$ e contemporaneamente richiede $|x-x_0|
Questo nasce dal fatto che un intorno del punto $x_o$, ossia $\mathbb{I(x_o,delta)}$, potrebbe contenere dei punti in cui la funzione $f$ non è nemmeno definita, e per evitare ciò è necessario considerare i punti $x in I(x_,delta) cap \mathbb{A} $ .

[Fioravante Patrone1]

"Shocker":
Dato che sto studiando anche io queste cose, mi intrometto sperando di non fare danni o rendermi ridicolo
...
Ci ho visto bene?
Edit: e forse nella def di feddy manca il quantificatore $\forall x$ subito dopo $\exists \delta > 0:$

Sì, ci hai visto bene. Ancor meglio dopo lo "Edit"

[Shocker1]

"feddy":grazie per essere intervenuto !

Evidentemente non avevo letto bene la definizione di Fioravante.

Cerco di fare chiarezza (correggimi pure se dico baggianate )

Con la sua definizione di continuità prende le $x in \mathbb{A}$ e contemporaneamente richiede $|x-x_0|
Questo nasce dal fatto che un intorno del punto $x_o$, ossia $\mathbb{I(x_o,delta)}$, potrebbe contenere dei punti in cui la funzione $f$ non è nemmeno definita, e per evitare ciò è necessario considerare i punti $x in I(x_,delta) cap \mathbb{A} $ .

Sì, esatto.
Poi ci voleva il quantificatore "per ogni" subito dopo $\exists \delta > 0$.

"Fioravante Patrone":
Sì, ci hai visto bene. Ancor meglio dopo lo "Edit"

Grazie!

[feddy]

Grazie e tutti per avermi chiarito le idee !

Bella discussione