Funzione di Dirichlet

[Cantor99]

Spulciando un pdf di un libro presumibilmente molto vecchio ho notato questo problema
"Posto
$f(x)=lim_(n->\infty)(lim_(t->0)(\frac{sin(n!πx)}{sin(n!πx)+t^2}))$
Mostrare che
$f(x)={(1,if x in RR-QQ),(0,if x in QQ):}$
detta funzione di Dirichleth"

Ho provato a ragionare così: se $x$ è razionale allora per $n->\infty$ $n!$ "prende tutti i naturali" sicché il prodotto $n!x$ diventa intero e il seno si annulla. Altrimenti il limite fa banalmente 1.
Se è giusto il ragionamento, come si potrebbe formalizzare? Se no come si procede?
Grazie

[Plepp]

Mah, a me pare che come l'hai detto tu va benissimo. Che altro c'è da formalizzare?

Se $x\in QQ$, $x=p/q$, allora la successione
\[a_n:=\lim_{t\to 0}(\text{quella roba la'})\]
è definitivamente costante; precisamente, per $n\ge q$ si ha che $n!x$ è intero, quindi $\sin(n!\pi x)=0$, da cui $a_n=\lim_{t\to 0}0=0$ e infine $f(x)=\lim_{n\to \infty}a_n=0$.

Se $x\notin QQ$, si ha $\sin(n!\pi x)\ne 0$ per ogni $n$, quindi $a_n=1$ per ogni $n$ e infine, come sopra, $f(x)=1$.

[dissonance]

Credo si dica "Dirichlet" senza acca finale. La soluzione mi pare corretta

[Cantor99]

Grazie Plepp per la celere risposta!
Hai ragione dissonance