Funzione di classe $C^{oo}$

[NightKnight1]

Trovare una funzione $f: RR -> RR$ di classe $C^(oo)$ tale che:
$f(x)=0 forall x<=0$ e $f(x)=1 \ forall x>=1$
o equivalentemente raccordi due semirette orizzontali $(-oo,a] \ times \ {lambda} \ \ , \ \ [b,+infty) \ times \ {mu}$ con $a
Io avevo pensato alla funzione "piattissima" $theta : RR -> RR$ definita da:
$theta(x) = e^(-1/x^2) \ forall x !=0$ e $theta(0)=0$.
Ed è noto che $theta$ è di classe $C^(oo)$.

Ma non so poi come raccordarla con il punto (1,1) con tutte le derivate in (1,1) nulle.

[irenze]

Ti serve l'integrale di una funzione a supporto compatto secondo me. Quella che tu proponi può funzionare come funzione integranda se sostituisci $x^2$ con $x^2 - 1$.

[gugo82]

Ad occhio, ti consiglierei di usare la funzione integrale di punto iniziale $0$ del mollificatore d'ampiezza $1/2$ centrato in $1/2$*.


__________
* Per mollificatore d'ampiezza $a>0$ centrato in $xi \in RR$ intendo la funzione di classe $C_c^oo$ definita come segue:

$\eta (x;xi,a):=\{(c_a *e^(-1/(|x-xi|^2)), " se " |x-xi|
in cui la costante $c_a>0$ è scelta in modo che $\int_RR \eta(x;xi,a)" d"x=1$ (in altre parole è $c_a=1/(\int_(-a)^a e^(-1/|x-xi|^2)" d"x)$).

[NightKnight1]

"Gugo82":Ad occhio, ti consiglierei di usare la funzione integrale di punto iniziale $0$ del mollificatore d'ampiezza $1/2$ centrato in $1/2$*.


__________
* Per mollificatore d'ampiezza $a>0$ centrato in $xi \in RR$ intendo la funzione di classe $C_c^oo$ definita come segue:

$\eta (x;xi,a):=\{(c_a *e^(-1/(|x-xi|^2)), " se " |x-xi|
in cui la costante $c_a>0$ è scelta in modo che $\int_RR \eta(x;xi,a)" d"x=1$ (in altre parole è $c_a=1/(\int_(-a)^a e^(-1/|x-xi|^2)" d"x)$).

Sicuramente mi sbaglio, ma il mollificatore non mi sembra una funzione continua in $a$, quindi come fai a dire che è di classe $C^oo$.
Mi potresti spiegare il simbolo $C_c^oo$?

[dissonance]

Ho trovato proprio adesso una pagina dell'Undergraduate Analysis (Serge Lang 1997) che parla di queste funzioni. Si tratta sostanzialmente della stessa cosa che ti hanno già indicato Gugo e Irenze.

(esercizio 6, [IV, §1], pag. 82) (a) Bump functions. Let $a, b$ be reals, $a=b$, and $f(x)="exp"(-1)/((x-a)(b-x))$, or alternatively $f(x)="exp"(-1/(x-a))"exp"(-1/(b-x))$, if $a (b) [Usando la funzione integrale $int_a^x f(t)"dt"$, ] Show that there exists a $C^(infty)$ function $F$ such that $F(x)=0$ if $x<=a$, $F(x)=1$ if $x>=b$, and $F$ is strictly increasing on $[a, b]$.
(c) [l'esercizio continua, facendoti usare i punti precedenti per costruire una funzione $C^(infty)$ che separa gli intervalli $(-infty, a], [a+delta, b-delta], [b, +infty)$, nel senso che vale 0 sugli ultimi due e 1 su quello centrale. E' anche abbastanza facile, ma non credo che ti serva in questo momento.]

Aggiungo una cosuccia : il fatto che queste funzioni $f$ siano $C^(infty)$ si può dimostrare facendo direttamente il conto: è chiaro che $f$ è derivabile indefinitamente nell'interno di $[a, b]$ e anche negli altri punti di $RR$ ad eccezione di $a, b$. Calcolando la derivata $k$-esima in un $x\in(a, b)$, ottieni che $f^((k))(x)=f(x)*("una funzione razionale che va ad infinito quando "x\toa, b)$. Dal limite notevole $lim_{x\to-infty}e^x*x^k=0$ segue che $f^((k))$ è continua ovunque, e quindi che $f$ è derivabile infinite volte in tutto $RR$.

Infine, col simbolo $C_C$ in genere ci si riferisce alle funzioni continue a supporto compatto. Probabilmente anche Gugo usa questa accezione.

[NightKnight1]

"dissonance":(c) [l'esercizio continua, facendoti usare i punti precedenti per costruire una funzione $C^(infty)$ che separa gli intervalli $(-infty, a], [a+delta, b-delta], [b, +infty)$, nel senso che vale 0 sugli ultimi due e 1 su quello centrale. E' anche abbastanza facile, ma non credo che ti serva in questo momento.]

In realtà mi serve proprio questo enunciato, ma penso che si faccia incollando le due funzioni che si ottengono da destra e da sinistra con il punto (b), vero??
Grazie dissonance!

[dissonance]

Sì, io ho risolto (e penso sia questo che intendeva l'autore) applicando il punto (b) agli intervalli $[a, a+delta]$ e $[b-delta, b]$. Ah, chiaramente $a+delta

[P.S.:] Attenzione che la funzione $F$ (la funzione integrale) va normalizzata, esattamente come dice Gugo (dividi per $int_a^bf(t)"dt"$). Sennò avrà valori non in $[0, 1]$ ma in $[0, int_a^bf(t)"dt"]$.

[NightKnight1]

Si si, ovviamente quello non è un problema.
Grazie!

[gugo82]

Sbagliato a scrivere la legge d'assegnazione per il mollificatore...

Quella corretta è la seguente:

$\eta(x;xi,a):=\{(c/a*e^(a^2/(|x-xi|^2-a^2)), " se " |x-xi|<=a),(0, " altrimenti"):}$

con la costante $c>0$ scelta uguale a $1/(\int_(-1)^1 e^(1/(x^2-1))" d"x)$ (in tal modo si ha $\int_RR \eta(x;xi,a)" d"x=1$).

Il mollificatore è di classe $C_c^oo(RR)$.


P.S.: Complimenti per la scelta di Montale... Di gran lunga il mio preferito.

[NightKnight1]

"irenze":Ti serve l'integrale di una funzione a supporto compatto secondo me. Quella che tu proponi può funzionare come funzione integranda se sostituisci $x^2$ con $x^2 - 1$.

Scusami di non averti ringraziato; ma tu avevi già risolto il mio problema, solo che mi ci sono voluti gli interventi di Dissonance per capirlo.
Grazie a tutti!