Funzione di classe $C^infty$ che presenta una cuspide
Buongiorno,
la definizione di curva è la seguente: "Una curva piana parametrizzata è una funzione $alpha:I sube RR rarr RR^2$ di classe $C^infty$.". La definizione di curva regolare è inoltre la seguente: "Una curva è regolare se ha velocità sempre non nulla.". Non capisco una cosa. Se una curva presentasse una cuspide, avrebbe velocità nulla in quel punto e quindi non sarebbe tutta regolare. Ma se per definizione una curva dev'essere una funzione di classe $C^infty$... può presentare una cuspide? Cioè: una funzione è di classe $C^k$ se tutte le derivate parziali fino al k-esimo ordine sono continue, mentre una cuspide è un punto di non derivabilità (o che ho sentito anche chiamare "discontinuità di 2° specie")!
Grazie.
la definizione di curva è la seguente: "Una curva piana parametrizzata è una funzione $alpha:I sube RR rarr RR^2$ di classe $C^infty$.". La definizione di curva regolare è inoltre la seguente: "Una curva è regolare se ha velocità sempre non nulla.". Non capisco una cosa. Se una curva presentasse una cuspide, avrebbe velocità nulla in quel punto e quindi non sarebbe tutta regolare. Ma se per definizione una curva dev'essere una funzione di classe $C^infty$... può presentare una cuspide? Cioè: una funzione è di classe $C^k$ se tutte le derivate parziali fino al k-esimo ordine sono continue, mentre una cuspide è un punto di non derivabilità (o che ho sentito anche chiamare "discontinuità di 2° specie")!
Grazie.
Risposte
Se è di classe $C^{\infty}$ non può avere una cuspide. 
Ma chi te le ha date quelle definizioni?
Una curva in $RR^n$ è una funzione continua $gamma:I ->RR^n$
$gamma$ è detta regolare se è di classe $C^1(I)$ e se $gamma'(t)!=0 AA t in I$
Una curva in $RR^n$ è una funzione continua $gamma:I ->RR^n$
$gamma$ è detta regolare se è di classe $C^1(I)$ e se $gamma'(t)!=0 AA t in I$
"Bubbino1993":
Ma se per definizione una curva dev'essere una funzione di classe $ C^infty $... può presentare una cuspide?
Sì, il primo esempio "fisico" che mi viene in mente è la cicloide \[ \mathbb R\ni t \mapsto (t+\cos t,-\sin t)\in\mathbb R^2 \]
Grazie a tutti per le risposte.
Queste sono le definizioni del prof:
Sì, il primo esempio "fisico" che mi viene in mente è la cicloide \[ \mathbb R\ni t \mapsto (t+\cos t,-\sin t)\in\mathbb R^2 \][/quote]
La cicloide è una funzione continua e differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi, quindi quel "tranne sulle cuspidi" mi porta a pensare che non possa essere di classe $C^infty$ su tutto $I$. O no?
E' quello che penso anche io, ma successivamente il prof riporta una curva con cuspide come esempio di curva non regolare: quindi comunque la considera una curva! Ma se la definizione di curva che ci ha dato è che sia di classe $C^infty$...
Grazie.
"Vulplasir":
Ma chi te le ha date quelle definizioni?
Una curva in $ RR^n $ è una funzione continua $ gamma:I ->RR^n $
$ gamma $ è detta regolare se è di classe $ C^1(I) $ e se $ gamma'(t)!=0 AA t in I $
Queste sono le definizioni del prof:
"coffee":
[quote="Bubbino1993"]Ma se per definizione una curva dev'essere una funzione di classe $ C^infty $... può presentare una cuspide?
Sì, il primo esempio "fisico" che mi viene in mente è la cicloide \[ \mathbb R\ni t \mapsto (t+\cos t,-\sin t)\in\mathbb R^2 \][/quote]
La cicloide è una funzione continua e differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi, quindi quel "tranne sulle cuspidi" mi porta a pensare che non possa essere di classe $C^infty$ su tutto $I$. O no?
"billyballo2123":
Se è di classe $ C^{\infty} $ non può avere una cuspide.
E' quello che penso anche io, ma successivamente il prof riporta una curva con cuspide come esempio di curva non regolare: quindi comunque la considera una curva! Ma se la definizione di curva che ci ha dato è che sia di classe $C^infty$...
Grazie.
Ma appunto quella definizione data dal prof è sbagliata, quella giusta è quella che ti ho riportato.
Proprio per evitare che una curva regolare possa presentare "spigoli" si richiede che la velocità non si annulli mai. Senza andare tanto lontano, la funzione \(\alpha\colon \mathbb R \to (0,0)\in \mathbb R^2\) è una curva, ma non è regolare. Infatti la sua traccia è un puntino, non esattamente quello che uno si aspetta essere una curva liscia. La già citata cicloide è una curva di classe \(C^\infty\), ma non è regolare perché in alcuni punti la velocità si annulla. E infatti, proprio in quei punti succedono cose strane.
"Vulplasir":Mi sembra che tu e il prof diciate la stessa cosa, solo che tu richiedi la classe \(C^1\) e il prof la classe \(C^\infty\). Il punto di vista del prof non è "sbagliato", ma è tipico della geometria differenziale, che spesso si mette nella categoria \(C^\infty\) per evitare di dovere avere a che fare con questioni di regolarità a ogni passaggio. (Le questioni di regolarità si studiano in ambiti più analitici, come la teoria geometrica della misura).
la definizione del prof è sbagliata
Grazie, dissonance.
Continuo però a non capire una cosa, scusa se dico inesattezze. Una funzione $alpha:I sube RR rarr RR^2$ è di classe $C^infty$ su tutto $I$ se è derivabile con continuità su tutto $I$ infinite volte, o no? Se c'è una cuspide, $alpha$ è continua su tutto $I$... ma non lo è la derivata $alpha'$, o no? Quindi come fanno a coesistere le $2$ condizioni?
Grazie.
Continuo però a non capire una cosa, scusa se dico inesattezze. Una funzione $alpha:I sube RR rarr RR^2$ è di classe $C^infty$ su tutto $I$ se è derivabile con continuità su tutto $I$ infinite volte, o no? Se c'è una cuspide, $alpha$ è continua su tutto $I$... ma non lo è la derivata $alpha'$, o no? Quindi come fanno a coesistere le $2$ condizioni?
Grazie.
Beh in effetti la cicloide presenta delle cuspidi, ma nelle cuspidi è derivabile con derivata nulla. Infatti considera un disco che rotola senza strisciare e un punto su di esso, la cicloide non è altro che la traiettoria di quel punto, e inoltre quando il punto tocca il terreno la sua velocità è nulla (proprio perché c'è rotolamento puro) perchè il punto prima scende e poi sale, quindi graficamente non è altro che la cuspide della cicloide. Dici che nelle cuspidi non è derivabile perchè pensi alla cicloide come y in funzione di x, ma vista come curva parametrica è derivabile con derivata nulla. In generale le cuspidi per curve in $RR^2$ sono punti in cui si inverte il moto, e quindi la velocità è nulla. Poi chiaramente basta vedere l'espressione analitica della cicloide per rendersi conto che x(t) e y(t) sono funzioni $C^oo$ quindi la cicloide è $C^oo$
Capito, grazie.
"Bubbino1993":
Grazie, dissonance.
Continuo però a non capire una cosa, scusa se dico inesattezze. Una funzione $alpha:I sube RR rarr RR^2$ è di classe $C^infty$ su tutto $I$ se è derivabile con continuità su tutto $I$ infinite volte, o no? Se c'è una cuspide, $alpha$ è continua su tutto $I$... ma non lo è la derivata $alpha'$, o no? Quindi come fanno a coesistere le $2$ condizioni?
Grazie.
Non ti confondere con il caso di una funzione \(f\colon I \to \mathbb R\). In quel caso la curva che tu consideri è il *grafico* di \(f\), e si, le cuspidi sono sempre punti di non derivabilità. Qui però hai una funzione \(\alpha\colon I \to \mathbb R^2\) e quello che tu disegni non è il grafico ma la traccia (come la chiama il tuo prof; io sapevo che si chiamava "sostegno", comunque ci siamo capiti).
Perfetto, ora ho capito anche in generale. Grazie.
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