Funzione di Classe C infinito
C'è un modo semplice per capire se una funzione è di classe C infinito?
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[xdom="gugo82"]Siccome non ci piace che un thread venga decapitato, ripristino la domanda posta dall'utente:
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[xdom="gugo82"]Siccome non ci piace che un thread venga decapitato, ripristino la domanda posta dall'utente:
a) Sia $ f \in C^{\infty}(\RR)$ verificante le seguenti condizioni,[/xdom]
i) Esiste $K > 0 $ tale che per ogni $x \in \RR $ e $n \in \NN $ si ha
$ |f^{(n)}(x)| <= K $,
ii) Per ogni $n \in \NN $ si ha $f(1/n) = 0 $.
Dimostrare che necessariamente $ f -= 0 $ su $\RR $
Risposte
Per favore, scrivi il testo del problema in chiaro. Grazie.
Ciao Mattia097,
Benvenuto sul forum!
Considerando che è il tuo primo messaggio, ti scrivo come dovresti scrivere ciò che è scritto nella foto che hai postato, in modo che tu possa rimuoverla dall'OP: infatti è sempre bene evitare di postare foto, perché alla lunga potrebbero sparire rendendo il post poco significativo quando non proprio incomprensibile.
a) Sia $ f \in C^{\infty}(\RR)$ verificante le seguenti condizioni,
i) Esiste $K > 0 $ tale che per ogni $x \in \RR $ e $n \in \NN $ si ha
$ |f^{(n)}(x)| <= K $,
ii) Per ogni $n \in \NN $ si ha $f(1/n) = 0 $.
Dimostrare che necessariamente $ f -= 0 $ su $\RR $
Benvenuto sul forum!
Considerando che è il tuo primo messaggio, ti scrivo come dovresti scrivere ciò che è scritto nella foto che hai postato, in modo che tu possa rimuoverla dall'OP: infatti è sempre bene evitare di postare foto, perché alla lunga potrebbero sparire rendendo il post poco significativo quando non proprio incomprensibile.
a) Sia $ f \in C^{\infty}(\RR)$ verificante le seguenti condizioni,
i) Esiste $K > 0 $ tale che per ogni $x \in \RR $ e $n \in \NN $ si ha
$ |f^{(n)}(x)| <= K $,
ii) Per ogni $n \in \NN $ si ha $f(1/n) = 0 $.
Dimostrare che necessariamente $ f -= 0 $ su $\RR $
a) Sia $ f \in C^{\infty}(\RR)$ verificante le seguenti condizioni,
i) Esiste $K > 0 $ tale che per ogni $x \in \RR $ e $n \in \NN $ si ha
$ |f^{(n)}(x)| <= K $,
ii) Per ogni $n \in \NN $ si ha $f(1/n) = 0 $.
Dimostrare che necessariamente $ f -= 0 $ su $\RR $
Principio di Identità delle Funzioni Analitiche e passa la paura?
"gugo82":
Principio di Identità delle Funzioni Analitiche e passa la paura?
Ma come dimostro che $ f^{(K)} = 0 \forall k \in N $ ?
Non c'è bisogno.
Prova a ragionare sulle varie versioni del PIFA.
Prova a ragionare sulle varie versioni del PIFA.
Ciao. Una curiosità, mi ricorda molto come tipologia di esercizio quelli che ci dava un mio professore, se posso domandarti dove hai preso l'esercizio?
Ad ogni modo se modificassimo le ipotesi nel seguente modo:
Sia \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che per ogni \(n\in \mathbb{N} \) si ha \( f(1/n)=0 \) allora è falso che \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{R} \).
Riesci a trovare un controesempio?
Mentre è vero che
Sia \( f \) analitica su \( \mathbb{R} \) tale che per ogni \(n \in \mathbb{N} \) si ha \( f(1/n)=0 \) allora \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{R} \).
Questo è sufficiente per mostrare che in \( \mathbb{R}\) analitico \( \neq \) \( C^{\infty}\).
Tu hai
Sia \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che
i) la successione delle derivate di \(f\) è uniformemente limitata su \( \mathbb{R}\) e tale che
ii) per ogni \(n \in \mathbb{N} \) si ha \( f(1/n)=0 \)
allora \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{R} \).
Per dimostrare il tuo claim procedi nel seguente modo:
Step 1:
Dimostra Lemma 1.
Suggerimento:
- Dimostra che tutte le derivate si annullano in un preciso punto \(x_0\) (quale ti conviene prendere?)
- Dimostra che se hai \(f \) analitica tale che tutte le sue derivate si annullano in \(x_0\) - quindi al momento sai solo che è identicamente nulla in un intorno \( U_{x_0} \) di \(x_0\) - allora in realtà è identicamente nulla su \( \mathbb{R} \).
Step 2:
Dimostra che se \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) + ipotesi i) \( \Rightarrow \) \(f\) analitica. Concludi con step 1.
Potresti domandarti se resta vero il claim anche indebolendo l'ipotesi i) ovvero richiedendo che le derivate siano limitate su \( \mathbb{R} \), e non più uniformemente limitate. In altre parole la costante \( K > 0 \) in realtà è una costante che dipende da \(n\).
Indebolendo in questo modo le ipotesi il claim è falso. È davvero essenziale che le derivate siano uniformemente limitate.
Edit: in realtà credo sia sufficiente che le tue derivate siano uniformemente limitate in un intorno di \( 0\).
Ad ogni modo se modificassimo le ipotesi nel seguente modo:
Sia \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che per ogni \(n\in \mathbb{N} \) si ha \( f(1/n)=0 \) allora è falso che \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{R} \).
Riesci a trovare un controesempio?
Mentre è vero che
Lemma 1
Sia \( f \) analitica su \( \mathbb{R} \) tale che per ogni \(n \in \mathbb{N} \) si ha \( f(1/n)=0 \) allora \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{R} \).
Questo è sufficiente per mostrare che in \( \mathbb{R}\) analitico \( \neq \) \( C^{\infty}\).
Tu hai
Sia \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che
i) la successione delle derivate di \(f\) è uniformemente limitata su \( \mathbb{R}\) e tale che
ii) per ogni \(n \in \mathbb{N} \) si ha \( f(1/n)=0 \)
allora \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{R} \).
Per dimostrare il tuo claim procedi nel seguente modo:
Step 1:
Dimostra Lemma 1.
Suggerimento:
- Dimostra che tutte le derivate si annullano in un preciso punto \(x_0\) (quale ti conviene prendere?)
- Dimostra che se hai \(f \) analitica tale che tutte le sue derivate si annullano in \(x_0\) - quindi al momento sai solo che è identicamente nulla in un intorno \( U_{x_0} \) di \(x_0\) - allora in realtà è identicamente nulla su \( \mathbb{R} \).
Step 2:
Dimostra che se \( f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \) + ipotesi i) \( \Rightarrow \) \(f\) analitica. Concludi con step 1.
Potresti domandarti se resta vero il claim anche indebolendo l'ipotesi i) ovvero richiedendo che le derivate siano limitate su \( \mathbb{R} \), e non più uniformemente limitate. In altre parole la costante \( K > 0 \) in realtà è una costante che dipende da \(n\).
Indebolendo in questo modo le ipotesi il claim è falso. È davvero essenziale che le derivate siano uniformemente limitate.
Edit: in realtà credo sia sufficiente che le tue derivate siano uniformemente limitate in un intorno di \( 0\).
Grazie per la risposta, proverò a fare come dici. Comunque l'esercizio l'ho visto da un mio amico che era disperato nel provare a risolverlo e gli ho detto allora che ci provavo ma da solo non sono riuscito a concludere nulla.
Scusate, ma non è più semplice?
Dalla uniforme limitatezza delle derivate segue che lo sviluppo in serie di MacLaurin di $f$ converge ovunque in $RR$, quindi la $f$ è analitica intera.
Il PIFA assicura che $f(x) = 0$ ovunque, perché l'insieme degli zeri di $f$ ha un'accumulazione al finito.
Dalla uniforme limitatezza delle derivate segue che lo sviluppo in serie di MacLaurin di $f$ converge ovunque in $RR$, quindi la $f$ è analitica intera.
Il PIFA assicura che $f(x) = 0$ ovunque, perché l'insieme degli zeri di $f$ ha un'accumulazione al finito.
Sì gugo82, è più semplice e va benissimo come dici te.
Mi sono però venuti ricordi di quando il suddetto professore ci dava esercizi semplici se conoscevi determinati teoremi di cui ignoravamo l'esistenza. Inoltre non sono sicuro che il principio di identità versione reale si veda ad analisi 1, pertanto può essere che l' OP non ne abbia conoscenza.
Sì può risolvere anche senza principio d'identità e può essere interessante farlo perché ti permette di capire sottigliezze di altri argomenti di analisi I (e in fondo credo fosse questo lo scopo del mio prof). Se l'OP non conosce il principio d'identità non credo sia una buona idea che lo risolva con esso.
Inoltre nel remoto caso che il suo amico abbia il mio professore... gli ho scritto più o meno quello che si aspetterebbe
Leggermente modificato, questo, era un esercizio di un esame che ci aveva dato per allenarci e non ci era permesso usare teoremi o risultati che non avevamo visto a corso, come ad esempio il principio d'identità, anche perché l'unica cosa che ci aveva detto sulle funzioni analitiche era la definizione... crudele
Mi sono però venuti ricordi di quando il suddetto professore ci dava esercizi semplici se conoscevi determinati teoremi di cui ignoravamo l'esistenza. Inoltre non sono sicuro che il principio di identità versione reale si veda ad analisi 1, pertanto può essere che l' OP non ne abbia conoscenza.
Sì può risolvere anche senza principio d'identità e può essere interessante farlo perché ti permette di capire sottigliezze di altri argomenti di analisi I (e in fondo credo fosse questo lo scopo del mio prof). Se l'OP non conosce il principio d'identità non credo sia una buona idea che lo risolva con esso.
Inoltre nel remoto caso che il suo amico abbia il mio professore... gli ho scritto più o meno quello che si aspetterebbe
Leggermente modificato, questo, era un esercizio di un esame che ci aveva dato per allenarci e non ci era permesso usare teoremi o risultati che non avevamo visto a corso, come ad esempio il principio d'identità, anche perché l'unica cosa che ci aveva detto sulle funzioni analitiche era la definizione... crudele
Secondo me procedendo senza il principio di identità si può capire la differenza tra \( C^{\infty} \) e analitico in \( \mathbb{R} \), a fondo e capire poi perché questa differenza sparisce in \( \mathbb{C}\).
Tant'è che nella risoluzione senza principio d'identità hai bisogno di conoscere veramente poco:
Data una funzione analitica che si annulla in tutti i punti \( 1/n \)
- Caratterizzazione della continuità per successioni.
- Teorema di Lagrange/Rolle
- Una proprietà degli \( \inf \).
Con questi due deduci che \(f\) e tutte le sue derivate si annullano in \(0\) e per analicità in un intorno \( U_0\) di \(0\) sai che su \( U_0\) è identicamente nulla.
Supponi per assurdo che esiste almeno un punto in cui \(f(x) \neq 0 \), prendi quindi l'insieme \( S = \{ \left|x \right| : f(x) \neq 0 \} \). Prendi \( x_1 := \inf S \). A patto di ingrandire \(U_0\) sai che \( x_1 \in \overline{U}_0 \). Dunque per continuità \( x_1 \not\in S \) e tutte le derivate di \(f\) si annullano in \(x_1\). Per analicità deduci che in un intorno di \( x_1 \) risulta che \(f\) è identicamente nulla contraddicendo il fatto che per ogni \( \epsilon >0 \) abbiamo \( [x_1,x_1+\epsilon) \cap S \neq \emptyset \).
Il passaggio in cui è vitale che \(f\) sia analitica e non semplicemente \( C^{\infty} \) è quando deduci che \(f\) è identicamente nulla in un intorno di \(x_1\). Questo lo puoi fare unicamente se puoi esprimere la funzione in quell'intorno come la sua serie di Taylor. Prendi ad esempio
\[ f(x) := \left\{\begin{matrix}
e^{-1/(x-1)}& \text{se} & x > 1 \\
0 & \text{se} & x \leq 1
\end{matrix}\right. \]
la funzione ha derivate
\[ f^{(n)}(x) := \left\{\begin{matrix}
\frac{p_n(x)}{(x-1)^{2n} }e^{-1/(x-1)}& \text{se} & x > 1 \\
0 & \text{se} & x \leq 1
\end{matrix}\right. \]
dove \( p_n \) è un polinomio di grado \(n-1\) che rispetta
\[ p_n(x) = p_{n-1}'(x) (x-1)^2+ p_{n-1}(x) \left(2n (x-1) +1 \right) \]
e \( p_1(x) = 1 \)
è una funzione \( C^{\infty}(\mathbb{R}) \) ma non analitica, inoltre per ogni \(n \) abbiamo che \( f(1/n)=0 \). Inoltre hai che per ogni \(n\) risulta che \( f^{(n)} \) è uniformemente limitata su \( \mathbb{R} \), ma non puoi limitare uniformemente la successione delle derivate \( \{ f^{(n)} \}_{n \geq 1} \). Tutta la dimostra funziona fino a quando diciamo che in un intorno di \( 1 = \inf S \) la funzione si annulla, e questo smette di funzione in quanto la funzione non è analitica siccome in un intorno di \(1\) la funzione differisce dal suo sviluppo di Taylor.
Inoltre tutte le derivate sono uniformemente limitate in un intorno di zero quindi il mio edit del commento precedente è sbagliato. Non è sufficiente che le derivate siano uniformemente limitate solo in un intorno di zero.
NB: in questo esempio possiamo dedurre che in \(U_0\), un intorno di \(0\), la funzione è identicamente nulla questo perché in un intorno di \(0\) le derivate sono uniformemente limitate e quindi hai che in un intorno di \(0\) la \(f\) è analitica, ma non lo sono in ogni compatto di \( \mathbb{R} \) quindi \(f\) non è analitica su \( \mathbb{R} \), quindi è un prolungamento non analitico della funzione identicamente nulla definita inizialmente solo su \( x \leq 1 \), \(f\) è un prolungamento \(C^{\infty} \) di \(0\) a tutto \( \mathbb{R}\). Il prolungamento analitico di \( 0\) su tutto \( \mathbb{R} \) è la funzione identicamente nulla su \( \mathbb{R}\). Fare questo non è possibile in \( \mathbb{C}\), i.e. se \(g\) ed \(f\) sono rispettivamente un prolungamento analitico e \(C^{\infty} \) (in realtà basta \(C^1 \)) allora \( f=g\). Tant'è che non puoi estendere \( e^{-1/(z-1)} \) a tutto \( \mathbb{C} \) in modo continuo nemmeno.
Ti resta a mostrare che \(C^{\infty} \) e derivate uniformemente limitate implica analitico. Oppure che \( C^{\infty} \) e derivate uniformemente limitate in ogni compatto implica analitico, in cui la costante può dipendere dal compatto scelto. Prendi dunque un punto \(x_0\) e in un suo intorno fai lo sviluppo di Taylor troncato al \(n\)-esimo termine con un resto. Dimostra che il resto va a zero quando \( n \to \infty\) e quindi abbiamo che lo sviluppo di Taylor converge a \(f\) in quell'intorno. Per arbitrarietà di \(x_0\) concludi che \(f\) analitica.
Tant'è che nella risoluzione senza principio d'identità hai bisogno di conoscere veramente poco:
Data una funzione analitica che si annulla in tutti i punti \( 1/n \)
- Caratterizzazione della continuità per successioni.
- Teorema di Lagrange/Rolle
- Una proprietà degli \( \inf \).
Con questi due deduci che \(f\) e tutte le sue derivate si annullano in \(0\) e per analicità in un intorno \( U_0\) di \(0\) sai che su \( U_0\) è identicamente nulla.
Supponi per assurdo che esiste almeno un punto in cui \(f(x) \neq 0 \), prendi quindi l'insieme \( S = \{ \left|x \right| : f(x) \neq 0 \} \). Prendi \( x_1 := \inf S \). A patto di ingrandire \(U_0\) sai che \( x_1 \in \overline{U}_0 \). Dunque per continuità \( x_1 \not\in S \) e tutte le derivate di \(f\) si annullano in \(x_1\). Per analicità deduci che in un intorno di \( x_1 \) risulta che \(f\) è identicamente nulla contraddicendo il fatto che per ogni \( \epsilon >0 \) abbiamo \( [x_1,x_1+\epsilon) \cap S \neq \emptyset \).
Il passaggio in cui è vitale che \(f\) sia analitica e non semplicemente \( C^{\infty} \) è quando deduci che \(f\) è identicamente nulla in un intorno di \(x_1\). Questo lo puoi fare unicamente se puoi esprimere la funzione in quell'intorno come la sua serie di Taylor. Prendi ad esempio
\[ f(x) := \left\{\begin{matrix}
e^{-1/(x-1)}& \text{se} & x > 1 \\
0 & \text{se} & x \leq 1
\end{matrix}\right. \]
la funzione ha derivate
\[ f^{(n)}(x) := \left\{\begin{matrix}
\frac{p_n(x)}{(x-1)^{2n} }e^{-1/(x-1)}& \text{se} & x > 1 \\
0 & \text{se} & x \leq 1
\end{matrix}\right. \]
dove \( p_n \) è un polinomio di grado \(n-1\) che rispetta
\[ p_n(x) = p_{n-1}'(x) (x-1)^2+ p_{n-1}(x) \left(2n (x-1) +1 \right) \]
e \( p_1(x) = 1 \)
è una funzione \( C^{\infty}(\mathbb{R}) \) ma non analitica, inoltre per ogni \(n \) abbiamo che \( f(1/n)=0 \). Inoltre hai che per ogni \(n\) risulta che \( f^{(n)} \) è uniformemente limitata su \( \mathbb{R} \), ma non puoi limitare uniformemente la successione delle derivate \( \{ f^{(n)} \}_{n \geq 1} \). Tutta la dimostra funziona fino a quando diciamo che in un intorno di \( 1 = \inf S \) la funzione si annulla, e questo smette di funzione in quanto la funzione non è analitica siccome in un intorno di \(1\) la funzione differisce dal suo sviluppo di Taylor.
Inoltre tutte le derivate sono uniformemente limitate in un intorno di zero quindi il mio edit del commento precedente è sbagliato. Non è sufficiente che le derivate siano uniformemente limitate solo in un intorno di zero.
NB: in questo esempio possiamo dedurre che in \(U_0\), un intorno di \(0\), la funzione è identicamente nulla questo perché in un intorno di \(0\) le derivate sono uniformemente limitate e quindi hai che in un intorno di \(0\) la \(f\) è analitica, ma non lo sono in ogni compatto di \( \mathbb{R} \) quindi \(f\) non è analitica su \( \mathbb{R} \), quindi è un prolungamento non analitico della funzione identicamente nulla definita inizialmente solo su \( x \leq 1 \), \(f\) è un prolungamento \(C^{\infty} \) di \(0\) a tutto \( \mathbb{R}\). Il prolungamento analitico di \( 0\) su tutto \( \mathbb{R} \) è la funzione identicamente nulla su \( \mathbb{R}\). Fare questo non è possibile in \( \mathbb{C}\), i.e. se \(g\) ed \(f\) sono rispettivamente un prolungamento analitico e \(C^{\infty} \) (in realtà basta \(C^1 \)) allora \( f=g\). Tant'è che non puoi estendere \( e^{-1/(z-1)} \) a tutto \( \mathbb{C} \) in modo continuo nemmeno.
Ti resta a mostrare che \(C^{\infty} \) e derivate uniformemente limitate implica analitico. Oppure che \( C^{\infty} \) e derivate uniformemente limitate in ogni compatto implica analitico, in cui la costante può dipendere dal compatto scelto. Prendi dunque un punto \(x_0\) e in un suo intorno fai lo sviluppo di Taylor troncato al \(n\)-esimo termine con un resto. Dimostra che il resto va a zero quando \( n \to \infty\) e quindi abbiamo che lo sviluppo di Taylor converge a \(f\) in quell'intorno. Per arbitrarietà di \(x_0\) concludi che \(f\) analitica.
Immagino che il punto in cui bisogna dimostrare che le derivate di qualsiasi ordine si annullano sia x = 0, ma in che modo si dimostra?
Riesci a dire \( f(0) = 0 \) ? Se sì come?
$ f(0) = 0 $ perché faccio il limite per $ n \rightarrow +\infty $ di $ f(\frac{1}{n}) $ che è uguale a zero (perché $ x_n = \frac{1}{n} \rightarrow 0 \Rightarrow f(x_n) \rightarrow f(0) $ )
Per ogni \( n \in \mathbb{N} \) fissato, riesci a trovare una successione \( \{a_{k}^{(n)} \}_{k \geq 1} \subset \mathbb{R} \) tale che \( a_{k}^{(n)} \to 0 \) quando \(k \to \infty \) e tale che \( f^{(n)}(a_{k}^{(n)}) = 0 \) per ogni \( k \geq 1 \) ? Se sì, puoi concludere come con \(f\) che \( f^{(n)}(0) = 0 \).
La successione potrebbe essere $ a_{k}^{(n)} = (\frac{1}{k})^{(n)} $ ?
No, a posteriori sì poiché la \(f\) è identicamente nulla, ma a priori non puoi dirlo. Quando ho scritto "trovare" non intendevo esplicitamente.
Inizia con \( f' \), sai che \(f \) è continua \( [1/(k+1), 1/k] \) e derivabile in \( (1/(k+1), 1/k) \), per ogni \(k \) inoltre \( f(1/k)=f(1/(k+1)) = 0 \), come concludi (come?) l'esistenza di una successione \( \{ a_{k}^{(1)} \}_{k \geq 1} \) con le proprietà desiderate?
Per induzione
Se hai trovato \( \{ a_{k}^{(n)} \}_{k \geq 1} \) tale che \( f^{(n)} (a_k^{(n)} ) = 0 \) per ogni \( k \geq 1 \) allora sai che \( f^{(n)} \) è continua in \( [a_{k+1}^{(n)} , a_{k}^{(n)} ] \) e derivabile in \( (a_{k+1}^{(n)} , a_{k}^{(n)} )\), inoltre \( f^{(n)}(a_{k+1}^{(n)} ) = f^{(n)}(a_k^{(n)} ) = 0 \) quindi puoi trovare \( a_{k}^{(n+1)} \) (come?) tale che \( f^{(n+1)}(a_k^{(n+1)} ) = 0 \).
Inizia con \( f' \), sai che \(f \) è continua \( [1/(k+1), 1/k] \) e derivabile in \( (1/(k+1), 1/k) \), per ogni \(k \) inoltre \( f(1/k)=f(1/(k+1)) = 0 \), come concludi (come?) l'esistenza di una successione \( \{ a_{k}^{(1)} \}_{k \geq 1} \) con le proprietà desiderate?
Per induzione
Se hai trovato \( \{ a_{k}^{(n)} \}_{k \geq 1} \) tale che \( f^{(n)} (a_k^{(n)} ) = 0 \) per ogni \( k \geq 1 \) allora sai che \( f^{(n)} \) è continua in \( [a_{k+1}^{(n)} , a_{k}^{(n)} ] \) e derivabile in \( (a_{k+1}^{(n)} , a_{k}^{(n)} )\), inoltre \( f^{(n)}(a_{k+1}^{(n)} ) = f^{(n)}(a_k^{(n)} ) = 0 \) quindi puoi trovare \( a_{k}^{(n+1)} \) (come?) tale che \( f^{(n+1)}(a_k^{(n+1)} ) = 0 \).
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