Funzione derivata e misurabilità
Mi servirebbe un aiuto per questo esercizio:
"Sia f una funzione a valori reali definita in R. Mostrare che se f è derivabile la sua funzione derivata è misurabile."
La funzione derivata può avere discontinuità di seconda specie quindi non posso far discendere la misurabilità dalla continuità. Non penso nemmeno che la funzione derivata debba essere continua quasi ovunque.
So inoltre che la funzione derivata gode della proprietà di Darboux ma non riesco a dimostrarne la misurabilità.
Consigli?
grazie
"Sia f una funzione a valori reali definita in R. Mostrare che se f è derivabile la sua funzione derivata è misurabile."
La funzione derivata può avere discontinuità di seconda specie quindi non posso far discendere la misurabilità dalla continuità. Non penso nemmeno che la funzione derivata debba essere continua quasi ovunque.
So inoltre che la funzione derivata gode della proprietà di Darboux ma non riesco a dimostrarne la misurabilità.
Consigli?
grazie
Risposte
Ricorda che il limite (anche solo inferiore o superiore) di misurabili è misurabile. Considera la successione
\[
g_n(x) := n\left[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]
\]
Allora....
P.S. Nota che non è necessario che la funzione sia definita su tutto $\RR$; se fosse definita solo su $(a,b)$ basta ripetere l'argomento precedente dopo aver esteso la funzione (ad esempio mettendola uguale a zero) al di fuori di $(a,b)$ (per dare un senso al primo addendo).
\[
g_n(x) := n\left[ f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]
\]
Allora....
P.S. Nota che non è necessario che la funzione sia definita su tutto $\RR$; se fosse definita solo su $(a,b)$ basta ripetere l'argomento precedente dopo aver esteso la funzione (ad esempio mettendola uguale a zero) al di fuori di $(a,b)$ (per dare un senso al primo addendo).
Grazie mille,ho capito!
Prego!
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