Funzione derivabile su un chiuso
Consideriamo la funzione $f:[0,1]->RR$, definita da $f(x)=x$.
Chiaramente si tratta di una restrizione della funzione identità su $RR$ (continua e derivabile con derivata continua su tutto $RR$), ristretta al chiuso $[0,1]$.
Posso dire che $f\inC^1([0,1])$ oppure il fatto che il dominio sia un chiuso mi impedisce di dire che è derivabile negli estremi?
Chiaramente si tratta di una restrizione della funzione identità su $RR$ (continua e derivabile con derivata continua su tutto $RR$), ristretta al chiuso $[0,1]$.
Posso dire che $f\inC^1([0,1])$ oppure il fatto che il dominio sia un chiuso mi impedisce di dire che è derivabile negli estremi?
Risposte
Come al solito si tratta di definizioni.
Di norma, se una funzione è definita su un intervallo chiuso \([a,b]\), si dice che è derivabile in \(a\) se è derivabile a destra in \(a\) (analogamente si ragiona in \(b\)).
Nel tuo caso, dunque, la derivata della funzione è \(f'(x) = 1\), \(x\in [0,1]\), che è continua in \([0,1]\).
PS: Più in generale si dice che \(f\in C^1(K)\) se esiste un aperto \(A\) contenente \(K\) e una estensione \(g\) di \(f\) ad \(A\) tale che \(g\in C^1(A)\). Anche con questa definizione la tua funzione risulta di classe \(C^1\).
Di norma, se una funzione è definita su un intervallo chiuso \([a,b]\), si dice che è derivabile in \(a\) se è derivabile a destra in \(a\) (analogamente si ragiona in \(b\)).
Nel tuo caso, dunque, la derivata della funzione è \(f'(x) = 1\), \(x\in [0,1]\), che è continua in \([0,1]\).
PS: Più in generale si dice che \(f\in C^1(K)\) se esiste un aperto \(A\) contenente \(K\) e una estensione \(g\) di \(f\) ad \(A\) tale che \(g\in C^1(A)\). Anche con questa definizione la tua funzione risulta di classe \(C^1\).
Gentilissimo, grazie mille! 
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