Funzione derivabile n volte ma non n-1
Sul mio libro viene presentato il seguente esercizio:
"Fare un esempio di funzione derivabile \(\displaystyle n \) volte ma non \(\displaystyle (n - 1) \) volte, per \(\displaystyle n \) intero positivo qualsiasi."
Non riesco a capirne il senso, mi sembra una richiesta contraddittoria se non assurda...
Faccio un'analisi del testo:
1) derivabile \(\displaystyle n \) volte, per \(\displaystyle n \) intero positivo, ok fin qui ci siamo, ci mancherebbe solo che \(\displaystyle n \) possa essere negativo o irrazzionale...
Volendo fare i pignoli porrei \(\displaystyle n > 1 \), perchè se \(\displaystyle n = 1 \) derivando \(\displaystyle (n -1) \) significa non derivare, con \(\displaystyle n = 0 \) non ha nemmeno senso parlarne...
2) per \(\displaystyle n \) qualsiasi, ok quindi la funzione \(\displaystyle f \) è derivabile infinite volte e per ogni \(\displaystyle n \), è possibile quindi avere una successione naturale di derivate , per gli assiomi di peano \(\displaystyle f \) è anche derivabile \(\displaystyle n+1 \) volte, il che equivale a dire che è derivabile anche \(\displaystyle n-1 \) volte.
Quindi la richiesta di trovare una funzione \(\displaystyle n \) qualsiasi volte ma non \(\displaystyle (n-1) \) è assurda.
3) Sorvoliamo la questione dell'n qualsiasi e supponiamo di voler trovatre una funzione derivabile \(\displaystyle n \) fissato volte ma non \(\displaystyle (n-1) \) volte.
Poichè la derivata successiva si calcola a partire dalla derivata precedente credo che questa richiesta sia contraddittoria...
Ripensandoci, la derivata seconda oltre che come derivata della derivata prima si potrebbe calcolare come limite del rapporto incrementale del rapporto incrementale.
Potrebbe magari esistere una funzione in cui il limite del rapporto incrementale non è calcolabile perchè oscillante su tutto il dominio, ma è possibile calcolare il limite del rapporto incrementale del rapporto incrementale...
Al di là questa illazzione, sinceramente sono assai dubbioso sul fatto che sia possibile...
4)Supponiamo che il testo intendesse una funzione che è derivabile \(\displaystyle n \) fissato volte in un punto \(\displaystyle x_0 \) ma non \(\displaystyle (n-1) \) sempre nel punto \(\displaystyle x_0 \).
Ok ora credo che il testo abbia significato anche se ho ancora qualche dubbio sul fatto che esiste una funzione di quel tipo...
Però pensando al significato geometrico, supponiamo che \(\displaystyle f \) ha un flesso a tangente verticale in \(\displaystyle x_0 \), la derivata prima non esiste in \(\displaystyle x_0 \)in quanto la pendenza è infinita.
Tuttavità in \(\displaystyle x_0 \) avviene un cambiamento di convavità in quanto flesso, quindi dovrebbe esistere la derivata seconda che vale \(\displaystyle 0 \)...
Voi che ne pensate? sono io che sono stordito e non riesco a comprendere il testo (cosa possibile)
, oppure chi ha scritto l'esercizio stava poco bene quando l'ha pensato ?
"Fare un esempio di funzione derivabile \(\displaystyle n \) volte ma non \(\displaystyle (n - 1) \) volte, per \(\displaystyle n \) intero positivo qualsiasi."
Non riesco a capirne il senso, mi sembra una richiesta contraddittoria se non assurda...
Faccio un'analisi del testo:
1) derivabile \(\displaystyle n \) volte, per \(\displaystyle n \) intero positivo, ok fin qui ci siamo, ci mancherebbe solo che \(\displaystyle n \) possa essere negativo o irrazzionale...
Volendo fare i pignoli porrei \(\displaystyle n > 1 \), perchè se \(\displaystyle n = 1 \) derivando \(\displaystyle (n -1) \) significa non derivare, con \(\displaystyle n = 0 \) non ha nemmeno senso parlarne...
2) per \(\displaystyle n \) qualsiasi, ok quindi la funzione \(\displaystyle f \) è derivabile infinite volte e per ogni \(\displaystyle n \), è possibile quindi avere una successione naturale di derivate , per gli assiomi di peano \(\displaystyle f \) è anche derivabile \(\displaystyle n+1 \) volte, il che equivale a dire che è derivabile anche \(\displaystyle n-1 \) volte.
Quindi la richiesta di trovare una funzione \(\displaystyle n \) qualsiasi volte ma non \(\displaystyle (n-1) \) è assurda.
3) Sorvoliamo la questione dell'n qualsiasi e supponiamo di voler trovatre una funzione derivabile \(\displaystyle n \) fissato volte ma non \(\displaystyle (n-1) \) volte.
Poichè la derivata successiva si calcola a partire dalla derivata precedente credo che questa richiesta sia contraddittoria...
Ripensandoci, la derivata seconda oltre che come derivata della derivata prima si potrebbe calcolare come limite del rapporto incrementale del rapporto incrementale.
Potrebbe magari esistere una funzione in cui il limite del rapporto incrementale non è calcolabile perchè oscillante su tutto il dominio, ma è possibile calcolare il limite del rapporto incrementale del rapporto incrementale...
Al di là questa illazzione, sinceramente sono assai dubbioso sul fatto che sia possibile...
4)Supponiamo che il testo intendesse una funzione che è derivabile \(\displaystyle n \) fissato volte in un punto \(\displaystyle x_0 \) ma non \(\displaystyle (n-1) \) sempre nel punto \(\displaystyle x_0 \).
Ok ora credo che il testo abbia significato anche se ho ancora qualche dubbio sul fatto che esiste una funzione di quel tipo...
Però pensando al significato geometrico, supponiamo che \(\displaystyle f \) ha un flesso a tangente verticale in \(\displaystyle x_0 \), la derivata prima non esiste in \(\displaystyle x_0 \)in quanto la pendenza è infinita.
Tuttavità in \(\displaystyle x_0 \) avviene un cambiamento di convavità in quanto flesso, quindi dovrebbe esistere la derivata seconda che vale \(\displaystyle 0 \)...
Voi che ne pensate? sono io che sono stordito e non riesco a comprendere il testo (cosa possibile)
, oppure chi ha scritto l'esercizio stava poco bene quando l'ha pensato ?
Risposte
Chiaro che la richiesta è assurda...
Molto probabilmente al posto di $n-1$ ci doveva essere $n+1$.
Molto probabilmente al posto di $n-1$ ci doveva essere $n+1$.
Grazie!, iniziavo a pensare di essere di essere io ad avere problemi .
Comunque anche se fosse \(\displaystyle n+1 \), per quanto siamo daccordo che esistono funzioni non derivabili più di \(\displaystyle n \) volte, per come è presentato nel testo non è che sia molto chiaro cosa intenda.
Comunque dato che il testo è palesemente sbagliato salterò l'esercizio
.
.Comunque anche se fosse \(\displaystyle n+1 \), per quanto siamo daccordo che esistono funzioni non derivabili più di \(\displaystyle n \) volte, per come è presentato nel testo non è che sia molto chiaro cosa intenda.
Comunque dato che il testo è palesemente sbagliato salterò l'esercizio
.
"stefano.balzarotti":
Sul mio libro viene presentato il seguente esercizio:
"Fare un esempio di funzione derivabile \(\displaystyle n \) volte ma non \(\displaystyle (n - 1) \) volte, per \(\displaystyle n \) intero positivo qualsiasi."
Non riesco a capirne il senso, mi sembra una richiesta contraddittoria se non assurda...
Faccio un'analisi del testo:
[...]
Non ti offendere se rido! Era sicuramente un errore di battitura, non c'era bisogno di scrivere tutta quella tonnellata di roba. Queste cose succedono quando uno è insicuro. Anche a me capitano fatti analoghi.
Quanto all'esercizio, non lo saltare, è interessante. Considera per esempio la funzione \(f(x)=x|x|\). Quante volte è derivabile? E la funzione \(f(x)=x|x|^{n-1}\)?
"dissonance":
Quanto all'esercizio, non lo saltare, è interessante. Considera per esempio la funzione \(f(x)=x|x|\). Quante volte è derivabile? E la funzione \(f(x)=x|x|^{n-1}\)?
Mi accodo... L'esercizio fornisce tanti spunti interessanti.
Inoltre, alle funzioni proposte da dissonance, aggiungerei un'analisi delle funzioni della famiglia:
\[
f(x) := \begin{cases} x^\alpha \sin \frac{1}{x^\beta} &\text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
(con $\alpha , \beta >0$), le quali vengono usate per fornire molti controesempi nela teoria delle funzioni.
Non ti offendere se rido! Era sicuramente un errore di battitura, non c'era bisogno di scrivere tutta quella tonnellata di roba. Queste cose succedono quando uno è insicuro. Anche a me capitano fatti analoghi.
Nessun problema ho riso anchio, sono qui per imparare
Quanto all'esercizio, non lo saltare, è interessante. Considera per esempio la funzione\(\displaystyle f(x)=x|x| \). Quante volte è derivabile?
Allora innanzitutto, in \(\displaystyle x=0 \) [strike]non è derivabile in quanto è un punto angoloso[/strike] è derivabile solo una volta, poi studirei le derivate destra e sinistra in modo indipendente per eliminare il valore assoluto.
Per \(\displaystyle x > 0\)
$ f^{\prime}(x) = 2x $
$f^{\prime}'(x) = 2$
$f^{\prime}''(x) = 0$
Tutte le derivate successive varranno \(\displaystyle 0 \)
Per \(\displaystyle x<0 \)
$f^{\prime}(x) = -2x$
$ f^{\prime}'(x) = -2$
$ f^{\prime}''(x) = 0$
...
Quindi posso posso riscrivere le derivate per \(\displaystyle x\ne0 \) come:
$f^{\prime}(x) = 2|x|$
$ f^{\prime}'(x) = 2\frac{|x|}{x}$
$ f^{\prime}''(x) = 0$
Alla domanda quante volte derivabile, direi infinite, anche se dalla derivata terza in poi la derivata è sempre nulla.
Quante volte è derivabile? E la funzione $f(x)=x|x|^{n−1}$?
Per derivarla procederei come prima, definendo un'algoritmo iterativo in dipendenza di \(\displaystyle n \).
E direi che è derivabile \(\displaystyle n \) volte prima che si annulli.
Mi accodo... L'esercizio fornisce tanti spunti interessanti.
Inoltre, alle funzioni proposte da dissonance, aggiungerei un'analisi delle funzioni della famiglia:
\[ f(x) := \begin{cases} x^\alpha \sin \frac{1}{x^\beta} &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0 \end{cases} \]
(con \(\displaystyle α,β>0 \)), le quali vengono usate per fornire molti controesempi nela teoria delle funzioni.
Questa funzione è molto interessante, innanzitutto verificherei se esiste la derivata in \(\displaystyle 0 \) calcolando limite destro e sinistro:
$\lim_{x\to 0} f^{\prime}(x)=αx^{α-1}sin(x^{-β})-βx^{α-β-1}cos(x^{-β}) $
Ometto i passaggi, ma mi risulta che il limite esiste solo se $α>β+1$ e vale $0$, quindi è derivabile, altrimenti la funzione oscilla.
Tuttavia mi risulta complicato stabilire quante volte sia derivabile, teoricamente posso andare anvanti all'infinito a derivare, ma oltre la derivata prima la funzione si complica eccessivamente e mi risulta difficile stabilire una regola iterativa.
Posso ipotizzare che se \(\displaystyle α,β \in\mathbb{N}\) forse prima poi ottengo una funzione nulla come derivata, se invece $α,β\in\mathbb{R} non credo ci siano limiti.
Diverso è il discorso in \(\displaystyle x = 0 \), se \(\displaystyle α,β \in\mathbb{N}\) ho fatto qualche verifica e sembra che la funzione sia derivabile \(\displaystyle α-β+1 \) volte, per dimostrarlo credo che dovrei procedere per induzione...
In 0 la prima funzione che ho proposto è derivabile una volta sola.
"dissonance":
In 0 la prima funzione che ho proposto è derivabile una volta sola.
Si hai ragione, non so cosa mi era passato per la testa in quel momento, in zero c'è un bellissimo flesso a tangente orizzontale.
É talmente semplice che si vede a colpo d'occhio che la derivata destra e sinistra tendono allo stesso valore.
Dovresti giustificare bene l'affermazione principale dell'esercizio, e cioè che la funzione è derivabile una volta ma non due. Non ti dilungare in dettagli inutili o in commenti tipo "si vede a occhio", "è semplicissimo" etc...
Fatto questo, trova un esempio di funzione derivabile $n$ volte ma non $n+1$ volte. Ancora una volta, giustifica bene la richiesta dell'esercizio ed evita i commenti inutili.
Fatto questo, trova un esempio di funzione derivabile $n$ volte ma non $n+1$ volte. Ancora una volta, giustifica bene la richiesta dell'esercizio ed evita i commenti inutili.
"dissonance":
Dovresti giustificare bene l'affermazione principale dell'esercizio, e cioè che la funzione è derivabile una volta ma non due. Non ti dilungare in dettagli inutili o in commenti tipo "si vede a occhio", "è semplicissimo" etc...
Fatto questo, trova un esempio di funzione derivabile $n$ volte ma non $n+1$ volte. Ancora una volta, giustifica bene la richiesta dell'esercizio ed evita i commenti inutili.
Si scusa, il commento era una critica verso me stesso, dato trovo inconcepibile sbagliare una derivata così semplice
La giustificazione matematica, si ha confrontando $ f^{\prime}(0^+)=f^{\prime}(0) = \lim_{x\to0^-}f^{\prime}(0) = 2|0| = 0 $ quindi in zero è derivabile una volta.
Mentre la derivata seconda $ f^{\prime}'(0)=2|0|/0 $ non è definita in \(\displaystyle 0 \).
Quindi è derivabile una volta.
Inoltre
$ \lim_{x\to0^-}f^{''}(0) = -2 $
$ \lim_{x\to0^+}f^{''}(0) = +2 $
Probabilmente l'altra volta, prestando poca attenzione, svolgendo questi limiti ho visto il punto angoloso, senza rendermi conto che stavo analizzando la derivata seconda
.A questo punto rianalizzerei la funzione $ f(x)=x|x|^{n−1} $
Per $ x\ge0 $, le derivate sono $ (n-1)x^{n-2}, (n-1)(n-2)x^{n-3}, ..., (n-1)!*x^0=(n-1)! $
invece per $ x<0$ le derivate sono $ -(n-1)x^{n-2}, -(n-1)(n-2)x^{n-3}, ..., -(n-1)!*x^0= -(n-1)! $
Quindi le derivate generiche sono $ (n-1)|x|^{n-2}, (n-1)(n-2)|x|^{n-3}, ..., (n-1)!|x|/x $, la funzione in \(\displaystyle 0 \) è derivabile esattamente \(\displaystyle n \) volte.
In quanto la derivata \(\displaystyle n \)-esima non è definita in \(\displaystyle 0 \).
Non è fatto bene. Non ho capito perché la funzione non è derivabile due volte in $0$. Devi calcolare per bene la derivata prima e poi mostrare che essa non è derivabile in $0$. Non scrivere tanto, scrivi poco, ma chiaro. In particolare, la scrittura $\frac{0}{0}$ non significa nulla.
Forse mi esprimo male, $ \frac{0}{0}$ so che non significa nulla, era solo un modo per mettere in risalto che la derivata seconda non è definita in $0$.
Data $f(x)= x|x| $, posso riscriverla come:
$f(x) = $\begin{equation}
\begin{cases}
x^2,\ per\ x\ge0\\-x^2,\ per\ x<0
\end{cases}
\end{equation}
La derivata prima quindi vale
$f^{\prime}(x)=$
\begin{equation}
\begin{cases}
2x,\ per\ x\ge0\\-2x,\ per\ x<0
\end{cases}
\end{equation}
Il che equivale a scrivere che $f^{\prime}(x) = 2|x| $ che è continua in tutto $\mathbb{R}$
Poichè a causa del valore assoluto la funzione è definita a tratti, con estremo $0$, devo verificare che $ \lim_{x\to0^-} f^{\prime}(x) = f^{\prime}(0) = \lim_{x\to0^+} f^{\prime}(x) $
$ {-2*0^{-} = 0^+ } = {2*0 = 0} = {2*0^{+} = 0^{+}} $ I limiti coincidono quindi $f$ è derivabile in $0$
Allo stesso modo calcolo la funzione derivata seconda:
$f^{''}(x) =$
\begin{equation}
\begin{cases}
2,\ per\ x\ge0\\-2,\ per\ x<0
\end{cases}
\end{equation}
Il che equivale a scrivere $f^{''}(x) = 2\frac{|x|}{x}$ o sbaglio?
Dalla scrittura compatta si vede subito che la funzione derivata seconda non è definita in $0$, comunque supponiamo che mi sbaglio, quindi analizzo i due tratti della funzione.
Per essere definita in $ 0 $ è necessario che $ \lim_{x\to0^-} f^{''}(x) = f^{''}(0) = \lim_{x\to0^+} f^{''}(x) $
Ma ${\lim_{x\to0^-} f^{''}(x) = -2}\ne {f^{''}(0) = 2}$ ,$\lim_{x\to0^+} f^{''}(x) = 2$
Spero ora di essere stato chiaro, scusa se ho scritto tanto, ma sono proprio inabile ad esprimermi
Data $f(x)= x|x| $, posso riscriverla come:
$f(x) = $\begin{equation}
\begin{cases}
x^2,\ per\ x\ge0\\-x^2,\ per\ x<0
\end{cases}
\end{equation}
La derivata prima quindi vale
$f^{\prime}(x)=$
\begin{equation}
\begin{cases}
2x,\ per\ x\ge0\\-2x,\ per\ x<0
\end{cases}
\end{equation}
Il che equivale a scrivere che $f^{\prime}(x) = 2|x| $ che è continua in tutto $\mathbb{R}$
Poichè a causa del valore assoluto la funzione è definita a tratti, con estremo $0$, devo verificare che $ \lim_{x\to0^-} f^{\prime}(x) = f^{\prime}(0) = \lim_{x\to0^+} f^{\prime}(x) $
$ {-2*0^{-} = 0^+ } = {2*0 = 0} = {2*0^{+} = 0^{+}} $ I limiti coincidono quindi $f$ è derivabile in $0$
Allo stesso modo calcolo la funzione derivata seconda:
$f^{''}(x) =$
\begin{equation}
\begin{cases}
2,\ per\ x\ge0\\-2,\ per\ x<0
\end{cases}
\end{equation}
Il che equivale a scrivere $f^{''}(x) = 2\frac{|x|}{x}$ o sbaglio?
Dalla scrittura compatta si vede subito che la funzione derivata seconda non è definita in $0$, comunque supponiamo che mi sbaglio, quindi analizzo i due tratti della funzione.
Per essere definita in $ 0 $ è necessario che $ \lim_{x\to0^-} f^{''}(x) = f^{''}(0) = \lim_{x\to0^+} f^{''}(x) $
Ma ${\lim_{x\to0^-} f^{''}(x) = -2}\ne {f^{''}(0) = 2}$ ,$\lim_{x\to0^+} f^{''}(x) = 2$
Spero ora di essere stato chiaro, scusa se ho scritto tanto, ma sono proprio inabile ad esprimermi
Va molto meglio. Ho ancora dei commenti ma li scriverò in un altro momento (forse)
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