Funzione derivabile localmente invertibile

[Black Magic]

Ciao a tutti,

ho un esercizio che ho provato a risolvere e ho qualche dubbio.

Si consideri una funzione $f:R->R$ derivabile con continuità e sia $f(2)=1$ e $f'(2)=4$.

Si dimostri che $f$ è invertibile in un intorno di $x_0 = 2$ e si calcoli $(f^-1)'(1)$.

[j18eos]

Per il primo punto basta il teorema della funzione implicita!

[Rigel1]

Puoi far vedere che esiste un intervallo \((a,b)\) contenente il punto \(x=1\) tale che \(f\) è strettamente crescente (dunque iniettiva) in \((a,b)\). A questo punto puoi considerare la restrizione di \(f\) a questo intervallo, che sarà una funzione biiettiva da \((a,b)\) in \((c,d) = (f(a), f(b))\) e applicare il teorema di derivazione della funzione inversa.

(Se hai già visto il teorema della funzione implicita puoi invece fare direttamente come suggerisce j18eos.)