Funzione derivabile in...
Ciao ragazzi, sto facendo questo esercizio e sono arrivato all'ultimo punto, ma non riesco proprio a capirlo... Come può $a$ essere influente sulla derivabilità in $x=-1/2$, se l'estremo $-1/2$, non è compreso nel dominio della funzione in cui compare $a$?
Risposte
Come calcoli la derivata sinistra di $g$? Perché ti faccio presente che devi usare il limite del rapporto incrementale ed, a occhio, credo che non ottieni per esso un valore finito per qualsiasi valore di $a$.
No aspetta non ho capito... Per derivata sinistra di g intendi la derivata della prima funzione del sistema?
Perchè devo usare il limite del rapporto incrementale? E poi io dicevo, anche se la prima funzione fosse derivabile in ogni punto per ogni a, cosa c'entra l'estremo $x=1/2$ con quella funzione se non appartiene al suo dominio, ma a quello della funzione di sotto?
Questo fatto delle funzioni definite a tratti non mi è chiaro per niente...
Perchè devo usare il limite del rapporto incrementale? E poi io dicevo, anche se la prima funzione fosse derivabile in ogni punto per ogni a, cosa c'entra l'estremo $x=1/2$ con quella funzione se non appartiene al suo dominio, ma a quello della funzione di sotto?
Questo fatto delle funzioni definite a tratti non mi è chiaro per niente...
La definizione di derivata è la seguente: se $x_0$ è un punto interno al dominio della funzione, allora-
$\lim_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(_x0)}{h}$
Ora, se il punto è $x_0=-1/2$, er prima cosa ti accorgi che esso non è interno al dominio del primo ramo $g_1$ della funzione (quello con il parametro) ma per esso è un punto di frontiera, quindi già hai un problema in questo senso a voler calcolare, brutalmente, quanto valga $g_1'(x)$ usando le regolette note. Inoltre, puoi osservare che $g(-1/2)=f(-1/2)=0$ (perché?) per cui andando a riscrivere il limite precedente si ha
$\lim_{h\to 0^-}\frac{\root[3]{2(h-1/2)+1}+\arctan(2(h-1/2))+a}{h}$
e questo limite dipende fortemente da $a$. Al fine di avere derivabilità, dovrai avere che il limite destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione $g$ in $-1/2$ siano finiti e coincidano. Ma ti faccio presente che anche il limite destro presenta qualche problemino.
P.S.: questi esercizi si risolvono così. Risolverli calcolando brutalmente le derivate e poi ponendo il tutto uguale per verificare le condizioni è un modo sbagliato: sostanzialmente facendo così tu dimostri la derivabilità assumendo che la funzione sia derivabile (per calcolare la derivata con le regole note devi già sapere che la funzione è derivabile). Per cui ti renderai conto che la cosa non può funzionare.
$\lim_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(_x0)}{h}$
Ora, se il punto è $x_0=-1/2$, er prima cosa ti accorgi che esso non è interno al dominio del primo ramo $g_1$ della funzione (quello con il parametro) ma per esso è un punto di frontiera, quindi già hai un problema in questo senso a voler calcolare, brutalmente, quanto valga $g_1'(x)$ usando le regolette note. Inoltre, puoi osservare che $g(-1/2)=f(-1/2)=0$ (perché?) per cui andando a riscrivere il limite precedente si ha
$\lim_{h\to 0^-}\frac{\root[3]{2(h-1/2)+1}+\arctan(2(h-1/2))+a}{h}$
e questo limite dipende fortemente da $a$. Al fine di avere derivabilità, dovrai avere che il limite destro e sinistro del rapporto incrementale della funzione $g$ in $-1/2$ siano finiti e coincidano. Ma ti faccio presente che anche il limite destro presenta qualche problemino.
P.S.: questi esercizi si risolvono così. Risolverli calcolando brutalmente le derivate e poi ponendo il tutto uguale per verificare le condizioni è un modo sbagliato: sostanzialmente facendo così tu dimostri la derivabilità assumendo che la funzione sia derivabile (per calcolare la derivata con le regole note devi già sapere che la funzione è derivabile). Per cui ti renderai conto che la cosa non può funzionare.
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