Funzione derivabile?
Salve a tutti,
studiando questa funzione
$f(x)=\frac{x^{2}}{\lnIxI -1}$ scusate ma non riesco a scrivere il valore assoluto di x al denominatore
mi son ritrovata dinanzi ad un dubbio: lo studio della derivabilità nel punto x=0. Dal grafico e dai limiti calcolati a sinistra e a destra di esso, potrei dire, quasi con certezza, che in questo punto la funzione è continua e derivabile tale da classificarlo come punto di massimo relativo per la funzione.
MA SE $x=0$ NON APPARTIENE AL $dom f(x)$ E NON APPARTIENE NEMMENO AL $dom f'(x)$ COME AFFERMARE CIO'?!
Potrei dire che è derivabile, però affermando prima che la funzione in $x=0$ posside una discontinuità eliminabile? E come giustifico che comunque questo punto non appartiene al dominio della derivata prima?
Un'altra domanda: per studiare la derivabilità di una funzione determino il $dom f'(x)$ e lo confronto con il $dom f(x)$ e calcolo i limiti solo in punti particolari (cioè che apartengono ad un dominio, mentre all'altro no)...è giusto?
Grazie a quanti di voi mi aiuteranno
studiando questa funzione
$f(x)=\frac{x^{2}}{\lnIxI -1}$ scusate ma non riesco a scrivere il valore assoluto di x al denominatore
mi son ritrovata dinanzi ad un dubbio: lo studio della derivabilità nel punto x=0. Dal grafico e dai limiti calcolati a sinistra e a destra di esso, potrei dire, quasi con certezza, che in questo punto la funzione è continua e derivabile tale da classificarlo come punto di massimo relativo per la funzione.
MA SE $x=0$ NON APPARTIENE AL $dom f(x)$ E NON APPARTIENE NEMMENO AL $dom f'(x)$ COME AFFERMARE CIO'?!
Potrei dire che è derivabile, però affermando prima che la funzione in $x=0$ posside una discontinuità eliminabile? E come giustifico che comunque questo punto non appartiene al dominio della derivata prima?
Un'altra domanda: per studiare la derivabilità di una funzione determino il $dom f'(x)$ e lo confronto con il $dom f(x)$ e calcolo i limiti solo in punti particolari (cioè che apartengono ad un dominio, mentre all'altro no)...è giusto?
Grazie a quanti di voi mi aiuteranno
Risposte
$f(x)=\frac{x^{2}}{\ln|x| -1}$
In $0$ la funzione non può essere continua: non è definita. Può essere prolungata per continuità, però.
Se la prolunghi per continuità puoi anche cercare di scoprire se è derivabile usando il teorema che trovi qui: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html#366811
In $0$ la funzione non può essere continua: non è definita. Può essere prolungata per continuità, però.
Se la prolunghi per continuità puoi anche cercare di scoprire se è derivabile usando il teorema che trovi qui: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html#366811
Per "prolungare $f$ per continuità in $0$" intendo definire una nuova funzione $g$ tale che:
$g(x) = {(f(x),if x!=0),(lim_(x ->0) f(x),if x=0):}$.
In questo modo "elimini" la discontinuità di terza specie. Ma ricorda: è una nuova funzione; una funzione più comoda e a cui puoi applicare il teorema che ti ho suggerito.
$g(x) = {(f(x),if x!=0),(lim_(x ->0) f(x),if x=0):}$.
In questo modo "elimini" la discontinuità di terza specie. Ma ricorda: è una nuova funzione; una funzione più comoda e a cui puoi applicare il teorema che ti ho suggerito.
Aggiungo alle (corrette) osservazioni di Seneca una postilla:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#485131
"rosannacir":Si, in concreto i conti da fare, spesso ma non sempre sono quelli. Concettualmente però è sbagliato.
Un'altra domanda: per studiare la derivabilità di una funzione determino il $dom f'(x)$ e lo confronto con il $dom f(x)$ e calcolo i limiti solo in punti particolari (cioè che apartengono ad un dominio, mentre all'altro no)...è giusto?
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#485131
Riepilogando: praticamente devo ragionare in questo modo:
* nel momento in cui sto studiando la continuità dimostro che nel punto $x=0$, la funzione non è definita ma $x=0$ è un punto di discontinuità eliminabile, perciò scriverò la funzione in parentesi graffa come scritto da Seneca, di conseguenza anche il punto $x=0$ entrerà a far parte del dominio;
* nel momento in cui sto studiando la derivabilità dovrò ricordarmi quanto detto nello studio della continuità e perciò analizzare i limiti in corrispondenza del punto $x=0$ per constatare se sia derivabile o meno:$ \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
Giusto? Ed ho risolto il problema
* nel momento in cui sto studiando la continuità dimostro che nel punto $x=0$, la funzione non è definita ma $x=0$ è un punto di discontinuità eliminabile, perciò scriverò la funzione in parentesi graffa come scritto da Seneca, di conseguenza anche il punto $x=0$ entrerà a far parte del dominio;
* nel momento in cui sto studiando la derivabilità dovrò ricordarmi quanto detto nello studio della continuità e perciò analizzare i limiti in corrispondenza del punto $x=0$ per constatare se sia derivabile o meno:$ \lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$
Giusto? Ed ho risolto il problema
Grazie Seneca perchè oggi son venuta a conoscenza di un nuovo teorema, il Teorema di Darboux (del quale nessuno mi aveva parlato!), che a mio avviso può essere definito uno dei più importanti teoremi in quanto necessario per lo studio di particolari punti che fanno andare in tilt 
"rosannacir":
Grazie Seneca perchè oggi son venuta a conoscenza di un nuovo teorema, il Teorema di Darboux (del quale nessuno mi aveva parlato!), che a mio avviso può essere definito uno dei più importanti teoremi in quanto necessario per lo studio di particolari punti che fanno andare in tilt
Figurati. Non ho fatto altro che riportare un intervento di Dissonance.
In effetti è utile in casi patologici in cui hai una funzione che a priori non era definita nel punto $x_0$ ed è stata prolungata per continuità (come in questo caso).
Comunque ti consiglio di fare attenzione quando vai a studiare la derivabilità; spesso si fanno degli errori infernali.
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