Funzione derivabile

[domy1]

Salve,
ho questo esercizio:

Si consideri la funzione:

$f(x) = a*e^x$ se $x > 1$

$f(x) = sqrt(x) + b$ se $x <= 1$

determinare $a$ e $b$ in modo tale che $f$ risulti derivabile.

Come si procede?
Qualunque $a$ e $b$ scelgo, la funzione non è sempre derivabile?

Grazie,
Domenico

[Studente Anonimo]

Perché sia derivabile bisogna innanzitutto che sia continua.

La f è continua negli $x>1$ e negli $0
Rimane da studiare la continuità in 1. Ovverosia, per imporre la continuità in 1 bisogna calcolare il limite per $x to 1^-$ e il limite per $x to 1^+$ e porli uguali uno all'altro. Ottieni la condizione

$ae = 1+b$

Sotto questa condizione la funzione è continua, quindi essa è una condizione necessaria: poniamo $b=ae-1$. Otteniamo che per $x \le 1$ si ha $f(x)=sqrt x+ae-1$.

Ora bisogna imporre che la funzione sia derivabile. Come sopra, si osserva che bisogna solamente studiare la derivabilità in 1. Ovvero si impone che la derivata destra in 1 sia uguale alla derivata sinistra in 1. Si ottiene

$ae=1/2$

Ne segue che $a=1/(2e)$ e $b=-1/2$.