Funzione derivabile

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti, propongo il seguente esercizio:

La funzione $f$ è definita come segue:

$f(x)= {2x-Ax^2}$ se $x<1$
$f(x)= {B/(x+1)}$ se $x>=1$

Per quali valori delle costanti $A$ e $B$ tale funzione è derivabile in ogni $x in RR$ ?

Risposte possibili:

1) $A=6/5, B=8/5$
2) $A=2/5, B=16/5$
3) quando $A$ e $B$ soddisfano $2-2A=B/4$
4) quando $A$ e $B$ soddisfano $2A+B=4$


Ciao

[MaMo2]

Uguagliando le due funzioni nel punto x = 1 si ottiene:
$2-A=B/2$
Uguagliando le due derivate nel punto x = 1 si ottiene:
$2 -2A=-B/4$
Risolvendo il sistema si trovano i seguenti valori:
$A=6/5$ e $B=8/5$
La soluzione giusta è perciò la 1.

[Bemipefe]

Uhm..... non sono molto pratico .... ma io avrei messo la 4.

Per vedere se la funzione è continua in $x= 1$ devo avere per questo valore, come si è detto
$2-A = B/2 $

Qundi posso risolvere per $A$ e trovare $A= 4 - B/2$ e
posso risolvere anche per $B$ e trovare $B = -2A+4$

Ma in generale l'equazione $2-A = B/2 $ è uguale a $2A +B = 4 $

oh no ?

Non sò dove li hai presi MaMo quei valori, potresti mostrare il procedimento visto che i sistemi non li ho mai fatti .... o meglio li ho fatti, ma male e più di 3 anni fà.

[cavallipurosangue]

Scusami, ma non ho capito nè quello che hai fatto nè i calcoli che hai scritto...

[Giusepperoma2]

"Bemipefe":Uhm..... non sono molto pratico .... ma io avrei messo la 4.

Per vedere se la funzione è continua in $x= 1$ devo avere per questo valore, come si è detto
$2-A = B/2 $

Qundi posso risolvere per $A$ e trovare $A= 4 - B/2$ e
posso risolvere anche per $B$ e trovare $B = -2A+4$

Ma in generale l'equazione $2-A = B/2 $ è uguale a $2A +B = 4 $

oh no ?

Non sò dove li hai presi MaMo quei valori, potresti mostrare il procedimento visto che i sistemi non li ho mai fatti .... o meglio li ho fatti, ma male e più di 3 anni fà.

la tua risposta sarebbe corretta se la domanda fosse "per quali valori di A e B la f e' CONTINUA?"

ma il testo richiede qualcosa di piu': che sia DERIVABILE, quindi si deve procedere come ha fatto MaMo

[Camillo]

Va calcolata anche la derivata della funzione che vale :

$ y_1'(x) =2-2Ax $ per $ x < 1 $ , mentre è :

$ y_2'(x) = -B/(x+1)^2 $ per $ x>=1 $
quindi dalla prima si deduce che :

$ lim_(x rarr 1^(-) ) y_1'(x) = 2-2A $ mentre dalla seconda si ottiene :

che per $ x = 1 $ la derivata $ y_2'(1) = -B/4 $ .
poichè si vuole che la funzione sia derivabile le due derivate devono essere uguali e cioè :

$ 2-2A = -B/4 $ che unita alla equazione già trovata e che garantiva la continuità della funzione :

$ 2 -A = B/2 $

porta alla soluzione :

$ A = 6/5; B = 8/5 $ come appunto già indicato da MaMo.

Camillo

[Bemipefe]

Ok ma io ancora non ho capito come fate a trovare questo:

$ A = 6/5; B = 8/5 $

[Camillo]

a) Abbiamo imposto la continuità della funzione in $ x = 1 $ trovando l'equazione :

$ 2 -A = B/2 $ .

b) Abbiamo imposto la derivabilità della funzione in $ x = 1 $ trovando l'equazione :

$ 2-2A = -B/4 $

Poichè il problema richiede che la funzione sia derivabile ( e quindi necessariamente anche continua in $ x = 1 $ ) le due equazioni soprariportate vanno messe a sistema così :

$( 2-A = B/2 $
$) 2-2A = -B/4 $

Da cui :
$ A = 2-B/2 $ che sostituito nella seconda equazione dà :

$ 2-4+B = -B/4 $

e quidni : $ 5B/4 = 2 $ e infine $ B = 8/5 $ e $ A =2-B/2 = 6/5 $

Camillo

[Bemipefe]

Grazie camillo!
Comunque questo mi interessava....

...Da cui :
$ A = 2-B/2 $ che sostituito nella seconda equazione dà ...

Se non ricordo male questo alle superiori si chiamava ....... metodo della sostituzione?
Ora ho capito perchè viene tale risultato .... scusami ma come ti ho detto sui sistemi di equazioni sono un pò (troppo) arrugginito.