Funzione definita su intervallo aperto

[chess71]

Sia $f$ una funzione definita su $(0,1]->R$, con $\int_{0}^{1} f^2(x) dx<+infty$.
Cosa possiamo desumere sulla $f$:
a) è limitata
b) è illimitata
c) è continua
d) è derivabile
e) non è sempre integrabile


Il quesito mi ha destato qualche dubbio: sulle proprietà della $f$ nulla si dice nelle ipotesi, mentre si danno informazioni su un integrale in cui uno degli estremi vede la $f$ non definita
quindi ad occhio la $f$ non mi sembra non sempre integrabile, ma mi sento di muovermi su un terreno scivoloso

confermate la mia risposta?

[chess71]

nessuno riesce a suggerirmi qualcosa?

[totissimus]

a) è limitata. FALSO controesempio: \( f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\)

b) è illimitata. FALSO controesemoio : \(f(x)=x \)

c) è continua. FALSO controesempio :\( f(x)=\frac{2x-1}{|2x-1|}\)

d) è derivabile. FALSO controesempio: \( f(x)=|2x-1|\)

d) non è sempre integrabile VERO esempio: \( f(x)=\begin{cases}
\begin{array}{cc}
-1 & x\in \mathbb{Q}\\
1 & x\notin \mathbb{Q}
\end{array}\end{cases}\) \( f(x)\) non è integrabile ma \( f^2(x)=1\) è integrabile.