Funzione definita solo in alcuni intervalli
Ciao
Ho questa funzione: $f(x) = x-5$ per $x>=5$ e $f(x) = 25-x^2$ per $x<=4$
Mi viene chiesto se è iniettiva, se suriettiva e di determinarnel funzione composta.
Io ho risposto che non è iniettiva perchè non sempre esiste una relazione uno ad uno tra il dominio e il codominio (c'è la x elevata a esponente pari).
Sulla suriettività e funzione composta ho alcuni problemi.
Una funzione è suriettiva se l'immagine coincide con il codominio, ora, dato che la f(x) è considerata su $Z$ come mi comporto dato che c'è un buco tra 4 e 5?
Per ora sono arrivato alla conclusione che non è suriettiva proprio a causa di questo.
Per la composizione non ho idea... avete suggerimenti?
Vorrei anche capire un'altra cosa: prendiamo la sola funzione $y = x^2$, dato che la parabola ha la concavità verso il basso, ci saranno dei valori di y oltre i quali la f(x) non va... questo vuol dire che non è suriettiva?
Grazie in anticipo
Ho questa funzione: $f(x) = x-5$ per $x>=5$ e $f(x) = 25-x^2$ per $x<=4$
Mi viene chiesto se è iniettiva, se suriettiva e di determinarnel funzione composta.
Io ho risposto che non è iniettiva perchè non sempre esiste una relazione uno ad uno tra il dominio e il codominio (c'è la x elevata a esponente pari).
Sulla suriettività e funzione composta ho alcuni problemi.
Una funzione è suriettiva se l'immagine coincide con il codominio, ora, dato che la f(x) è considerata su $Z$ come mi comporto dato che c'è un buco tra 4 e 5?
Per ora sono arrivato alla conclusione che non è suriettiva proprio a causa di questo.
Per la composizione non ho idea... avete suggerimenti?
Vorrei anche capire un'altra cosa: prendiamo la sola funzione $y = x^2$, dato che la parabola ha la concavità verso il basso, ci saranno dei valori di y oltre i quali la f(x) non va... questo vuol dire che non è suriettiva?
Grazie in anticipo
Risposte
"Sergio":
[quote="Montecristoh"]Una funzione è suriettiva se l'immagine coincide con il codominio, ora, dato che la f(x) è considerata su $Z$ come mi comporto dato che c'è un buco tra 4 e 5? Per ora sono arrivato alla conclusione che non è suriettiva proprio a causa di questo.
Da dove salta fuori $ZZ$? Se non vengono precisati dominio e codominio, intenderei che si tratta di una funzione $f:A to RR$, dove $A sube RR$.
Il "buco" di cui parli è un buco del dominio quindi, in sé, dice ben poco.
Proviamo meglio:
a) il dominio è $(-oo,4]uu[5,+oo)$;
b) il codominio è: $[0,+oo)$ per $x>=5$, $(-oo,9]$ per $x<=4$; dal momento che $[0,+oo)uu(-oo,9]=RR$, la funzione è suriettiva.[/quote]
Si, errore mio, non ho precisato che la f(x) è definita in Z.
"Sergio":
[quote="Montecristoh"]Vorrei anche capire un'altra cosa: prendiamo la sola funzione $y = x^2$, dato che la parabola ha la concavità verso il basso, ci saranno dei valori di y oltre i quali la f(x) non va... questo vuol dire che non è suriettiva?
La funzione $y=x^2$ è convessa verso il basso.
Per il resto, se al solito si intende una funzione $f:A to RR$, non è suriettiva perché il dominio è $(0,+oo)$: l'immagine comprende solo valori non negativi.[/quote]
Ok... quindi se ho capito bene lascerei fuori i valori negativi, che invece sono contenuti nel codominio?
Come mai per il dominio hai preso solo $(0,+oo)$ e non $(-oo,+oo)$?
Ok, grazie
Per la composizione per ora sono arrivato ad una conclusione che non mi sembra affatto corretta.
Devo determinare $f(f(x))$, quindi la soluzione a cui sono arrivato per ora è $f(f(x)) = (25 - x^2) - 5 ) = -x^2 + 20$, è giusto?
Per la composizione per ora sono arrivato ad una conclusione che non mi sembra affatto corretta.
Devo determinare $f(f(x))$, quindi la soluzione a cui sono arrivato per ora è $f(f(x)) = (25 - x^2) - 5 ) = -x^2 + 20$, è giusto?
La funzione composta di $f$ con chi? Con se stessa?
"WiZaRd":
La funzione composta di $f$ con chi? Con se stessa?
Esatto
Messo in spoiler il messaggio: l'autore del topic lo aveva già letto e l'ultima correzione potrebbe indurlo in dubbio, quindi lascio comunque una traccia affinché possa capire, a seguito di quanto detto anche da Fioravante Patrone, dov'è l'errore. E' nascosto di modo che chi legge ex novo la discussione non venga tratto in errore (come suggerito da Marco512).
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta e scusa il ritardo, qual'è la definizione standard di composizione? Il testo sul quale sto studiando non la riporta.
Il punto è che dalle prove di esame precedenti che ho visto questa richiesta (composizione di funzione) è sempre presente in questa forma, cambiano solo i numeri ma si tratta sempre di funzioni definite a tratti.
Quindi credo vogliano proprio accertarsi che si sappia fornire una risposta in questo caso.
Il punto è che dalle prove di esame precedenti che ho visto questa richiesta (composizione di funzione) è sempre presente in questa forma, cambiano solo i numeri ma si tratta sempre di funzioni definite a tratti.
Quindi credo vogliano proprio accertarsi che si sappia fornire una risposta in questo caso.
[OT]
La funzione $y=x^2$ è convessa verso il basso.[/quote]
Una piccola precisazione.
Funzione concava:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("labels");
plot("1-x^2",-1,1);[/asvg]
Funzione convessa:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("labels");
plot("x^4-0.5",-1,1);[/asvg]
Le altre denominazioni, che io sappia, sono usate solo nelle scuole superiori e su wikipedia; non le ho mai incontrate su nessun libro di Analisi serio.
[/OT]
"Sergio":
[quote="Montecristoh"]Vorrei anche capire un'altra cosa: prendiamo la sola funzione $y = x^2$, dato che la parabola ha la concavità verso il basso, ci saranno dei valori di y oltre i quali la f(x) non va... questo vuol dire che non è suriettiva?
La funzione $y=x^2$ è convessa verso il basso.[/quote]
Una piccola precisazione.
Funzione concava:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("labels");
plot("1-x^2",-1,1);[/asvg]
Funzione convessa:
[asvg]xmin=-1;xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("labels");
plot("x^4-0.5",-1,1);[/asvg]
Le altre denominazioni, che io sappia, sono usate solo nelle scuole superiori e su wikipedia; non le ho mai incontrate su nessun libro di Analisi serio.
[/OT]
La definizione che io conosco per la composizione di applicazioni è questa.
Date le applicazioni $g : A to B$ e $f:B to C$, si dice applicazione composta di $f$ e $g$ e la si denota con $f circ g$, l'applicazione $f circ g ( cdot ) : A to C$ con assegnazione $f circ g ( x ) = f(g(x)), forall x in A$.
Editato un piccolo errore gentilmente segnalatomi dall'amico Mathematico.
Date le applicazioni $g : A to B$ e $f:B to C$, si dice applicazione composta di $f$ e $g$ e la si denota con $f circ g$, l'applicazione $f circ g ( cdot ) : A to C$ con assegnazione $f circ g ( x ) = f(g(x)), forall x in A$.
Editato un piccolo errore gentilmente segnalatomi dall'amico Mathematico.
"Gugo82":
Le altre denominazioni, che io sappia, sono usate solo nelle scuole superiori e su wikipedia; non le ho mai incontrate su nessun libro di Analisi serio.
"concavità verso il basso": abominio!!! Concordo!!!
@WiZaRd
Non capisco i problemi che vedi nel comporre $f$ con sé stessa.
Mi pare di capire che $f$ sia definita su tutto $ZZ$ e, per la legge che la esprime, mi pare assuma valori in $ZZ$.
Quindi posso comporre $f$ con se stessa (e anche iterare il procedimento).
Aggiungo una nota generale: la composizione di una funzione con se stessa è una cosa che si fa spesso. Tanto è vero che si parla di funzione idempotente se $f\circ f = f$, cosa che avviene spesso con le "proiezioni". Altro esempio: il teorema delle contrazioni invoca $f^n$, per ogni $n \in NN$.
Non capisco i problemi che vedi nel comporre $f$ con sé stessa.
Mi pare di capire che $f$ sia definita su tutto $ZZ$ e, per la legge che la esprime, mi pare assuma valori in $ZZ$.
Quindi posso comporre $f$ con se stessa (e anche iterare il procedimento).
Aggiungo una nota generale: la composizione di una funzione con se stessa è una cosa che si fa spesso. Tanto è vero che si parla di funzione idempotente se $f\circ f = f$, cosa che avviene spesso con le "proiezioni". Altro esempio: il teorema delle contrazioni invoca $f^n$, per ogni $n \in NN$.
@Fioravante Patrone e Gugo82: Si si, non è il libro a non essere serio, è la mia preparazione a non esserlo. WiZaRd aveva chiarito ma grazie comunque per l'ulteriore precisazione.
@WiZaRd: Ok... allora è quella, grazie.
@WiZaRd: Ok... allora è quella, grazie.
@Fioravante Patrone
Non mi crea alcun problema comporre una funzione con se stessa e rivedendo quel messaggio che ho scritto non capisco perché l'ho scritto... evidentemente l'ora tarda deve avermi mandato in tilt il cervello
Invero dovrebbe essere
$f(f(x))={(x-10 \text{se} x>=10),(10x-x^2 \text{se} 5<=x<=9),(20-x^2 \text{se} -6
Chiedo scusa per l'erroraccio e prometto che non posterò più a quell'ora
Non mi crea alcun problema comporre una funzione con se stessa e rivedendo quel messaggio che ho scritto non capisco perché l'ho scritto... evidentemente l'ora tarda deve avermi mandato in tilt il cervello
Invero dovrebbe essere
$f(f(x))={(x-10 \text{se} x>=10),(10x-x^2 \text{se} 5<=x<=9),(20-x^2 \text{se} -6
Chiedo scusa per l'erroraccio e prometto che non posterò più a quell'ora
WiZaRd:
La definizione che io conosco per la composizione di applicazioni è questa.
Date le applicazioni $f : A to B$ e $g:B to C$, si dice applicazione composta di $f$ e $g$ e la si denota con $f circ g$, l'applicazione $f circ g ( cdot ) : A to C$ con assegnazione $f circ g ( x ) = f(g(x)), forall x in A$.
Da come la so io la composizione tra f e g si denota al contrario, cioè come $g circ f$, e, ovviamente l'immane della f deve cadere nel dominio della g ed è definita come $(g circ f)(x) = g(f(x)), forall x in A$
WiZaRd:
@Fioravante Patrone
Non mi crea alcun problema comporre una funzione con se stessa e rivedendo quel messaggio che ho scritto non capisco perché l'ho scritto... evidentemente l'ora tarda deve avermi mandato in tilt il cervello :oops:
[...]
Chiedo scusa per l'erroraccio e prometto che non posterò più a quell'ora :oops:
Potresti almeno correggere, così eviti di sviare e di far dire cose inutili
"WiZaRd":No problem, figurati. Mi chiedevo se non mi fossi perso qualche dettaglio, infatti se noti il mio post è alquanto circospetto.
Chiedo scusa per l'erroraccio e prometto che non posterò più a quell'ora
Convengo che alle 3:52 sarebbe meglio essere a dormire
"Marco512":No, ci sono due "scuole di pensiero". Non c'è un unico modo di scrivere, presente sulla piazza.
Da come la so io la composizione tra f e g si denota al contrario, cioè come $g circ f$, e, ovviamente l'immane della f deve cadere nel dominio della g ed è definita come $(g circ f)(x) = g(f(x)), forall x in A$
Fioravante Patrone:No, ci sono due "scuole di pensiero". Non c'è un unico modo di scrivere, presente sulla piazza.[/quote]
[quote=Marco512]
Da come la so io la composizione tra f e g si denota al contrario, cioè come $g circ f$, e, ovviamente l'immane della f deve cadere nel dominio della g ed è definita come $(g circ f)(x) = g(f(x)), forall x in A$
questa non la sapevo. Sui libri è molto 'gettonata' la definizione che ho dato io, che forse è quella più vecchia, però, se devo dire la mia, è un modo di scrivere abbastanza innaturale perchè ti è chiara solo quando vai a visualizzare il tutto. Però, ripeto, forse è solo una questione di 'estetica'
Editato il mio messaggio sbagliato.
Chiedo ancora scusa e ringrazio per la comprensione.
Chiedo ancora scusa e ringrazio per la comprensione.
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