Funzione definita positiva
Buona domenica a tutti! Chiedo gentilmente di dissiparmi questo dubbio senza l'utilizzo delle derivate!!
date le seguenti funzioni, come è possibile in maniera semplice dimostrare che esse sono sempre positive?
questa è la prima
2x^2 +2y^2+ 2z^2 +2xy +2xz +2yz
Io l'ho risolta che è possibile vederla come quadrati di binomi a meno del 2 accanto ai singoli quadrati che comunque non vanno a influire sul segno.....mi servirebbe però un metodo più "meccanico" da utilizzare che mi permetta di saper sempre risolvere qualunque funzione.
La seconda funzione è:
x (4x +y -z) +y (x +2y +z) +z (-x +y +2z)
Mille grazie in anticipo per l'aiuto!!
date le seguenti funzioni, come è possibile in maniera semplice dimostrare che esse sono sempre positive?
questa è la prima
2x^2 +2y^2+ 2z^2 +2xy +2xz +2yz
Io l'ho risolta che è possibile vederla come quadrati di binomi a meno del 2 accanto ai singoli quadrati che comunque non vanno a influire sul segno.....mi servirebbe però un metodo più "meccanico" da utilizzare che mi permetta di saper sempre risolvere qualunque funzione.
La seconda funzione è:
x (4x +y -z) +y (x +2y +z) +z (-x +y +2z)
Mille grazie in anticipo per l'aiuto!!
Risposte
basta osservare l'esponente...se è pari come nel tuo caso avrai sicuramente una quantità positiva...viceversa se è dispari non puoi affermare con certezza la positività della funzione e procedere...un metodo più "meccanico" 
dell' osservare l'esponente per casi semplici come il tuo non credo esista 
dell' osservare l'esponente per casi semplici come il tuo non credo esista
ma vi sono dei doppi prodotti che data l'alternanza di segni potrebbero creare problemi!!!
Mica sono tutti al quadrato
Mica sono tutti al quadrato
Ma come?! 
La matematica diventa davvero bella proprio quando vengono meno i metodi meccanici, e bisogna aguzzare l'ingegno
Se fosse tutto meccanico lasceremmo i calcolatori ad occuparsi di matematica!
Veniamo al tuo problema, queste cose si fanno con un po' di occhio, ragionandoci, e facendo qualche tentativo.
Per la prima immediatamente si ha:
Ed una somma di quadrati è nulla quando ogni quadrato singolarmente si annulla (in questo caso quando \( x = y = z = 0 \)), ed è positiva altrimenti.
Per la seconda invece (qui bisognava essere un po' più creativi):
ed anche in questo caso valgolo considerazioni analoghe al quelle del caso precedente.
La matematica diventa davvero bella proprio quando vengono meno i metodi meccanici, e bisogna aguzzare l'ingegno Se fosse tutto meccanico lasceremmo i calcolatori ad occuparsi di matematica!
Veniamo al tuo problema, queste cose si fanno con un po' di occhio, ragionandoci, e facendo qualche tentativo.
Per la prima immediatamente si ha:
\(\displaystyle
\begin{align}
2x^2 +2y^2+ 2z^2 +2xy +2xz +2yz & = \\
& = x^2 +y^2 + z^2 + \left(x^2 +y^2+ z^2 +2xy +2xz +2yz\right) = \\
& = x^2 +y^2 + z^2 + \left(x+y+ z\right) ^2
\end{align}
\)
\begin{align}
2x^2 +2y^2+ 2z^2 +2xy +2xz +2yz & = \\
& = x^2 +y^2 + z^2 + \left(x^2 +y^2+ z^2 +2xy +2xz +2yz\right) = \\
& = x^2 +y^2 + z^2 + \left(x+y+ z\right) ^2
\end{align}
\)
Ed una somma di quadrati è nulla quando ogni quadrato singolarmente si annulla (in questo caso quando \( x = y = z = 0 \)), ed è positiva altrimenti.
Per la seconda invece (qui bisognava essere un po' più creativi
):\(\displaystyle
\begin{align}
x (4x +y -z) +y (x +2y +z) +z (-x +y +2z) & = \\
& = 4x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy - 2xz + 2yz =\\
& = 2x^2 + (x^2 -2xz +z^2) + (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 2yz + z^2) =\\
& = 2x^2 + (x-z)^2 + (x+y)^2 + (y+z)^2 \\
\end{align}
\)
\begin{align}
x (4x +y -z) +y (x +2y +z) +z (-x +y +2z) & = \\
& = 4x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy - 2xz + 2yz =\\
& = 2x^2 + (x^2 -2xz +z^2) + (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 2yz + z^2) =\\
& = 2x^2 + (x-z)^2 + (x+y)^2 + (y+z)^2 \\
\end{align}
\)
ed anche in questo caso valgolo considerazioni analoghe al quelle del caso precedente.
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