Funzione definita implicitamente
Ho l'esercizio:
Assegnata l'equazione:
$f(x,y)= x^2 cosx - \int_0^y sin t^2" d"t -y = 0$
stabilire se l'equazione definisce implicitamente nell'origine una funzione $y=y(x)$. In caso affermativo stabilire la natura del punto.
Io ho cercato di vedere se rispetta le ipotesi del Teorema del Dini:
$f$ è definita in $RR^2$ e non ci sono problemi
la derivata rispetto a $y$ è continua perchè la funzione è costituita da funzioni tutte continue,
poi ho calcolato le due derivate parziali e verificato che in $(0,0)$ quella rispetto a $y$ non si annulla, quella rispetto a $x$ si. Questo mi va bene e valutando che l'origine annulla la funzione, le ipotesi del teorema del Dini sono verificati. Pertanto posso dire che nell'origine posso definire $y(x)$ e non viceversa. Giusto? Ci sono sbavature di errore?Grazie a priori.
Assegnata l'equazione:
$f(x,y)= x^2 cosx - \int_0^y sin t^2" d"t -y = 0$
stabilire se l'equazione definisce implicitamente nell'origine una funzione $y=y(x)$. In caso affermativo stabilire la natura del punto.
Io ho cercato di vedere se rispetta le ipotesi del Teorema del Dini:
$f$ è definita in $RR^2$ e non ci sono problemi
la derivata rispetto a $y$ è continua perchè la funzione è costituita da funzioni tutte continue,
poi ho calcolato le due derivate parziali e verificato che in $(0,0)$ quella rispetto a $y$ non si annulla, quella rispetto a $x$ si. Questo mi va bene e valutando che l'origine annulla la funzione, le ipotesi del teorema del Dini sono verificati. Pertanto posso dire che nell'origine posso definire $y(x)$ e non viceversa. Giusto? Ci sono sbavature di errore?Grazie a priori.
Risposte
Mi pare giusto, a parte la giustificazione della continuità delle derivate di [tex]$f$[/tex] che può essere migliorata.
Inoltre, forse puoi dire qualcosa in più sulla natura del punto [tex]$0$[/tex] per la funzione implicita [tex]$y(x)$[/tex] (basta ricordare l'espressione della derivata di [tex]$y(x)$[/tex] in funzione delle derivate parziali di [tex]$f$[/tex]).
P.S.: Ho migliorato un po' il MathML nel tuo post.
Inoltre, forse puoi dire qualcosa in più sulla natura del punto [tex]$0$[/tex] per la funzione implicita [tex]$y(x)$[/tex] (basta ricordare l'espressione della derivata di [tex]$y(x)$[/tex] in funzione delle derivate parziali di [tex]$f$[/tex]).
P.S.: Ho migliorato un po' il MathML nel tuo post.
"gugo82":
Mi pare giusto, a parte la giustificazione della continuità delle derivate di [tex]$f$[/tex] che può essere migliorata.
Inoltre, forse puoi dire qualcosa in più sulla natura del punto [tex]$0$[/tex] per la funzione implicita [tex]$y(x)$[/tex] (basta ricordare l'espressione della derivata di [tex]$y(x)$[/tex] in funzione delle derivate parziali di [tex]$f$[/tex]).
P.S.: Ho migliorato un po' il MathML nel tuo post.
sulla continuità non vorrai dire che devo calcolare quell'integrale? Spero di no...poi sul punto non capisco cosa posso dire in più? Intendi a livello di definizioni? Grazie per l'aiuto.
P.s. ma la derivata rispetto a y dell'integrale la devo scrivere valutando la funzione integranda agli estremi vero?
Scusate se uppo, ma oltre a necessitare di altre informazioni, volevo chiedervi se le derivate parziali da me calcolate sono esatte:
Fx = 2x cosx - $x^2$senx
Fy= sen$y^2$ - 1
Inoltre volevo chiedervi cosa devo dire riguardo alla natura del punto, questo passaggio non mi è chiaro. Grazie.
Fx = 2x cosx - $x^2$senx
Fy= sen$y^2$ - 1
Inoltre volevo chiedervi cosa devo dire riguardo alla natura del punto, questo passaggio non mi è chiaro. Grazie.
$ f_y = - \sin(y^2) - 1 $
y(x) è una funzione di una sola variabile, il teorema di dini da R^2 in R ti dà il modo per calcolarne la derivata, ossia $ y'(x) = - f_y/f_x $, che calcolata nell'origine ti dà 0. da questo ricavi che è un punto critico.
y(x) è una funzione di una sola variabile, il teorema di dini da R^2 in R ti dà il modo per calcolarne la derivata, ossia $ y'(x) = - f_y/f_x $, che calcolata nell'origine ti dà 0. da questo ricavi che è un punto critico.
"enr87":
$ f_y = - \sin(y^2) - 1 $
y(x) è una funzione di una sola variabile, il teorema di dini da R^2 in R ti dà il modo per calcolarne la derivata, ossia $ y'(x) = - f_y/f_x $, che calcolata nell'origine ti dà 0. da questo ricavi che è un punto critico.
forse volevi dire $ y'(x) = - f_x/f_y $
Dunque l'origine è un punto critico per la funzione y(x) in quanto annulla la derivata prima, ho capito bene? Grazie mille mi sei stato di grande aiuto!
sì scusa, ho scambiato le derivate come hai notato tu. per il resto è ok!
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