Funzione definita a tratti e continuità

[giammy-95]

La teoria mi dice che una funzione è continua in x0 se $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $ giusto ? , mi ritrovo questo esercizio, data la funzione :

$ f(x)= { ( 2 per x<0 ),( 2-x per 0<= x <1 ),( 1/x per1<=x<2 ),( 0 per x>=2 ):} $

determinare :

1) l'insieme dei punti di R nei quali f è continua
2)l'insieme dei punti di R nei quali f è derivabile.

come devo procedere per i 2 punti ?

[alexdr1]

$ f(x)= { ( 2, if x<0 ),( 2-x, if 0<= x <1 ),( 1/x, if 1<=x<2 ),( 0, if x>=2 ):} $

Continuità:
Verifichiamo la continuità nei punti in cui cambia la legge associata alla funzione, ovvero nei punti:
$x=0, x=1,x=2$

$\lim_{x \to \0^-} 2=2$
$\lim_{x \to \0^+} (2-x)=2$
In $x=0$ la funzione f è continua.

$\lim_{x \to \1^-} (2-x)=1$
$\lim_{x \to \1^+} 1/x=1$
In $x=1$ f è continua.

$\lim_{x \to \2^-} 1/x=1/2$
$\lim_{x \to \2^+} 0=0$
In $x=2$ f presenta una discontinuità di prima specie, quindi in tale punto non è continua (e non potrà essere derivabile poiché viene meno la condizione necessaria di derivabilità.

Allora f è continua in $A=RR-{2}$.

Derivabilità:
Se $x!=0,1,2$ allora:
$f'(x)= { ( 0, if x<0 ),( -1, if 0< x <1 ),( -1/x^2, if 12 ):} $

Se $x=0$:
$\lim_{x \to \0^-} 0=0=f'_-(0)$
$\lim_{x \to \0^+} -1=-1=f'_+(0)$
Allora $x=0$ è un punto di non derivabilità.
Se $x=1$:
$\lim_{x \to \1^-} -1=-1$
$\lim_{x \to \1^+} -1/x^2=-1$
In $x=1$ la funzione è derivabile.

Allora l'insieme di derivabilità è $B=RR-{0,2}$

[giammy-95]

grazieee ! Una sola domanda come mai nella verifica della derivabilità hai posto la condizione che x deve essere diverso da 0,1 e 2 ?

[alexdr1]

Perché in 2 la funzione non era continua e dunque non potrà essere derivabile in tale punto.
I punti $x=0$ e $x=1$ li ho esclusi perché in tali punti cambia la legge della funzione e quindi in tali punti potrebbe essere non derivabile