Funzione definita a tratti

[glitch000]

Salve a tutti, qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questa funzione definita a tratti?

Sia $α > 0$ un parametro reale. Si consideri la
funzione $f : R → R$ definita a tratti nel seguente modo:
$ { ( (x-1-log(x))/(x-2)^2; x>1),( alpha;x=1 ),(( int_(0)^((1-x)^(2x)) e^(sin(t)) dt)/(2(1-x)); x<1 ):} $

Non sono riuscita a risolvere il $lim x-> 1^+$ di $(x-1-log(x))/(x-2)^2$ e in più non saprei proprio come trattare l'integrale quando devo fare il $lim x-> 1^-$ di $( int_(0)^((1-x)^(2x)) e^(sin(t)) dt)/(2(1-x))$ come si risolvono i limiti con gli integrali?

Grazie in anticipo e scusate il disturbo

[anonymous_0b37e9]

"glitch000":
... come si risolvono i limiti con gli integrali?

Se non si vuole integrare o non si riesce a integrare, quando possibile mediante il teorema di de l'Hôpital.

[ghira1]

"glitch000":$(( int_(0)^((1-x)^(2x)) e^(sin(t)) dx)/(2(1-x)); x<1 ):} $

$dx$ o $dt$?

[glitch000]

oh ho sbagliato è $dt$ non $dx$
adesso correggo

[glitch000]

"anonymous_0b37e9":

Se non si vuole integrare o non si riesce a integrare, quando possibile mediante il teorema di de l'Hôpital.

Quindi dovrei fare la derivata dell'integrale?

[anonymous_0b37e9]

Trattandosi di una forma indeterminata 0/0, certamente, prestando la dovuta attenzione all'estremo di integrazione superiore:

$(d)/(dx)[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt]=f[\varphi_2(x)]*(d\varphi_2(x))/(dx)-f[\varphi_1(x)]*(d\varphi_1(x))/(dx)$

In questo caso:

$e^(sin(1-x)^(2x))*(1-x)^(2x)*[2log(1-x)-(2x)/(1-x)]$

Inoltre, in assenza di refusi, il limite destro non è nemmeno una forma indeterminata.

[pilloeffe]

Ciao glitch000,

Se non ho fatto male i conti si ha:

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 $

Quindi se si vuole che la funzione $f(x) $ sia continua bisogna ammettere che possa essere $\alpha = 0 $.